例题球

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典型例题九

例9 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

1，经过3个点的小圆的周长为64?，那么这个球的半径为（ ）．

A．43 B．23 C．2 D．3

分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为R，小圆的半径为r，则2?r?4?，

B、C，O为球心，?AOB??BOC??COA?∴r?2．如图所示，设三点A、

2???．又∵OA?OB，63∴?AOB是等边三角形，同样，?BOC、?COA都是等边三角形，得?ABC为等边三角形，边长等于球半径R．r为?ABC的外接圆半径，r?333r?23． AB?R，R?333

答案：B

说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．

典型例题十

例10 半径为R的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．

分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．

解：∵棱锥底面各边相等， ∴底面是菱形． ∵棱锥侧棱都相等，

∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．

∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥．

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过该棱锥对角面作截面，设棱长为a，则底面对角线AC?故截面SAC是等腰直角三角形．

2a，

又因为SAC是球的大圆的内接三角形，所以AC?2R，即a?∴高SO?R，体积V?2R．

12S底?SO?R3． 33说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截面（过棱

锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．

解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解．

典型例题十一

例11 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA?PB?PC?a．求这个球的表面积．

分析：S球面?4?R，因而求球的表面关键在于求出球的半径R． 解：设过A、B、C三点的球的截面半径为r， 球心到该圆面的距离为d， 则R?r?d．

2222A、B、C四点不共面，?ABC由题意知P、因而是以这四个点为顶点的三棱锥P?ABC（如图所示）．

的外接圆是球的截面圆．

'由PA、PB、PC互相垂直知，P在ABC面上的射影O是?ABC的垂心，又PA?PB?PC?a，

'所以O也是?ABC的外心，所以?ABC为等边三角形， 且边长为2a，O是其中心， 从而也是截面圆的圆心．

据球的截面的性质，有OO垂直于⊙O所在平面，

'''

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因此P、O、O共线，三棱锥P?ABC是高为PO的球内接正三棱锥，从而d?R?PO．由已知得r?''633a，PO'?a，所以R2?r2?d2?r2?(R?PO')2，可求得R?a，∴332S球面?4?R2?3?a2．

说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切

接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．

典型例题十二

例12 已知棱长为3的正四面体ABCD，E、F是棱AB、AC上的点，且AF?2FC，BE?2AE．求四面体AEFD的内切球半径和外接球半径．

分析：可用何种法求内切球半径，把VD?AEF分成4个小体积(如图)．

解：设四面体AEFD内切球半径为r，球心N，外接球半径R，球心M，连结NA、NE、NF、

ND，则VAEFD?VN?AEF?VN?AFD?VN?ADE?VN?EFD．

四面体AEFD各面的面积为

S?AEF?23133233，S?AFD?S?ABC?，S?AED?S?ABC?． S?ABC?923432?DEF各边边长分别为EF?3，DF?DE?7，

∴S?DEF?∵VADEF?53． 422VABCD?， 921VAEFD?r(S?AEF?S?AFD?S?AED?S?DEF)，

3∴

213333353?r(???)， 232244

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∴r?如图，

6． 8

?AEF是直角三角形，其个心是斜边AF的中点G．

设?ABC中心为O1，连结DO1，过G作平面AEF的垂线，M必在此垂线上， 连结GO1、MD．

∵MG?平面ABC，DO1?平面ABC， ∴MG//DO1，MG?GO1．

在直角梯形GO1DM中，GO1?1，DO1?6，

MD?R，MG?AM2?AG2?R2?1，

又∵(DO1?MG)2?GO1?MD2，∴(6?R2?1)2?1?R2， 解得：R?210． 2610，外接球半径为． 82综上，四面体AEFD的内切球半径为

说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是因本题图形的背

景较复杂．若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部．

本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．这样分割的思想方法应给予重视．

典型例题十三

例13 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的