概率论与数理统计浙江大学第四版-课后习题答案（完全版）

的概率密度。[已知θ?5(T?32)] 9法一：∵ T的概率密度为f(t)?12?2e?(t?98.6)22?2,???t???

又 θ?g(T)? T?h(θ)?5(T?32) 是单调增函数。 99θ?32 反函数存在。 5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞

∴ θ的概率密度ψ(θ)为

9(θ?32?98.6)2?54eψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?12π2?9 5 ?910πe?81(θ?37)2100,???θ???

法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于T～N（98.6, 2）

?55160160故 θ?T?~N??98.6?999??9故θ的概率密度为：

?333?????9???222??333?5?2?5??,???2??N?,???2?

?9??????9?9???(?)?

1e52?29?5?2????2?9??910?e?81(??37)2100,???????

第三章 多维随机变量及其分布

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

??0,若第一次取出的是正品, X????1,若第一次取出的是次品???0,若第二次取出的是正品, Y????1,若第二次取出的是次品?试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=

或写成

X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=

或写成

X Y 0 1 0 1 101025?? 1212361025?? 1212362105?? 121236221?? 12123625 365 3610945?? 12116610210?? 12116621010?? 121166211?? 1211665 361 36

0 1 45 6610 6610 661 663.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。

X Y 0 1 2 3 0 0 0 3235 35 1 0 612235 35 35 2 16335 35 35 0 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3，为

P {C22X=0, Y=2 }=

2C2C4?1735 P {C1C12X=1, Y=1 }=

32C2C4?6735 P {X=1, Y=2 }=C1213C2C26C4?735 P {X=2, Y=0 }=C223C2C4?3735 P {X=2, Y=C2C111 }=

32C2C4?12735 P {X=2, Y=2 }=C223C2C4?3735 P {X=3, Y=0 }=C313C2C4?2735 j=0，12，i + j≥2，联合分布律

31C3C24C7P {X=3, Y=1 }=?2 35P {X=3, Y=2 }=0

??k(6?x?y),0?x?2,2?y?45.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??

?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}

（2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4}

分析：利用P {(X, Y)∈G}=

??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy再化为累次积分，其中

GG?Do?0?x?2,???Do??(x,y)?

2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?3 81 8（2）P(X?1,Y?3)???01dx3128(6?x?y)dy?（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?127 (6?x?y)dy?28324?20dx?4?x012(6?x?y)dy? 836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 y （2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题）

X Y 0 1 边缘分布律为

0 1 2 x+y=4 1 25 365 36X Pi·

0

5 361 361

o x Y

0 1

5616P·j

5616

② 不放回抽样（第1题）