2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点十七推理与证明文

考点十七 推理与证明

一、选择题

1．(2019·河北衡水质检四)利用反证法证明：若x＋y＝0，则x＝y＝0，假设为( ) A．x，y都不为0 B．x，y不都为0

C．x，y都不为0，且x≠y D．x，y至少有一个为0 答案 B

解析 x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0，即x，y不都为0，故选B. 2．(2019·重庆巴蜀中学适应性月考七)某演绎推理的“三段”分解如下：

①函数f(x)＝lg x是对数函数；②对数函数y＝logax(a>1)是增函数；③函数f(x)＝lg

x是增函数．

则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是( ) A．①→②→③ B．③→②→① C．②→①→③ D．②→③→① 答案 C

解析 大前提是②，小前提是①，结论是③.故排列的次序应为②→①→③，故选C. 3．若P＝a＋2－a，Q＝a＋6－a＋4，a≥0，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P

1解析 易知P>0，Q>0，＝

1

Pa＋2－a2

＝

a＋2＋a2

，

1

Q＝

＝a＋6－a＋4

1a＋6＋a＋4

，

11

所以<，所以P>Q.

PQ4．观察下列各式：7＝49,7＝343,7＝2401，…，则7A．01 B．43 C．07 D．49 答案 A

2342020

的末两位数字为( )

解析 7＝49,7＝343,7＝2401,7＝16807,7＝117649,7＝823543，即7的末两位数分别为49,43,01,07，周期为4，又2020＝504×4＋4，则7故选A.

111

5．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( )

2020

234567n的末两位数与7的末两位数相同，

4

yzxA．至少有一个不大于2 B．都大于2

C．至少有一个不小于2 D．都小于2 答案 C

111

解析 a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，所

xyz以a，b，c三数至少有一个不小于2，故选C.

6．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，则照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )

答案 A

解析 观察三个图案知，其规律是每次闪烁，三块黑色区域都顺时针旋转两个角．故选A.

7．观察下列不等式：3＋1<22，2＋2<23，5＋3<4，6＋2<25，…，据此可以归纳猜想出的一般结论为( )

A.n＋3＋n＋1<2n(n∈N) B.n＋1＋n－1<2n(n∈N) C.n＋3＋n＋1<2n(n≥2且n∈N) D.n＋1＋n－1<2n(n≥2且n∈N) 答案 D 解析

3＋1<22即为3＋1<22，2＋2<23即为4＋2<23，5＋3<4即为5

**

＋3<24，6＋2<25即为6＋4<25，故可以归纳猜想出的一般结论是：n＋1＋n－1<2n(n≥2且n∈N)，故选D.

8．在△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝

*

a2＋b2

2

，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若SA，SB，SC两两互相垂直，

SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R＝( )

A.3C.

a2＋b2＋c2

2

B.a2＋b2＋c2

3

a3＋b3＋c3

3

3

D.abc

答案 A

解析 在四面体S－ABC中，三条棱SA，SB，SC两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，其中SA＝a，SB＝b，SC＝c是一个顶点处的三条棱长，所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径R＝

二、填空题

9．观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为________．

a2＋b2＋c2

2

，故选A.

答案 1296

解析 第一行的和为1，第二行的和为3＝(1＋2)， 第三行的和为6＝(1＋2＋3)， 第四行的和为(1＋2＋3＋4)＝10， …

第八行的和为(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＝1296.

10．所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝2＋228＝2＋2＋2，…按此规律，8128可表示为________．

答案 2＋2＋…＋2

2解析 因为6＝2＋228＝2＋2＋2，所以496＝16×31＝2×(2－1)＝

1

2,

2

3

4

4

5

4

6

7

12

1

2,

2

3

4

2

2

2

2

2

2

2

2

－

2－1

12

5

＝2

2＋2＋2＋2＋2，…，8128＝64×127＝2×(2－1)＝4

5

6

7

8

6

7

6

－2－1

7

＝2＋2＋…＋2.

67

11．(2019·辽宁朝阳重点高中第四次模拟)甲、乙、丙、丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是________．

答案 乙

解析 若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁说的都对，满足题意；若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意．

12．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N)，则am＋n＝

*

nb－ma.n－m

类比上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N)，则可以得到bm＋n＝________.

**

n－mdn答案 cmdnn－m(n解析 设等比数列的首项为b1，公比为q≠0.则bm＝c＝b1q，bn＝d＝b1q，m＝b1·qcm－1

n－1

－m)(n＋m－1)

n－mdnn＋m－1

，所以＝bm＋n. m＝b1qc三、解答题

13．设Sn为数列{an}的前n项和，给出如下数列： ①5,3,1，－1，－3，－5，－7，…； ②－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，….

(1)对于数列①，计算S1，S2，S4，S5；对于数列②，计算S1，S3，S5，S7；

(2)根据上述结果，对于存在正整数k，满足ak＋ak＋1＝0的这一类等差数列{an}前n项和的规律，猜想一个正确的结论，并加以证明．

解 (1)对于数列①：S1＝5，S2＝8，S4＝8，S5＝5； 对于数列②：S1＝－14，S3＝－30，S5＝－30，S7＝－14. (2)∵ak＋ak＋1＝0，∴2a1＝(1－2k)d， ∴S2k－n－Sn＝(2k－n)a1＋

k－n2

k－n－

dd－na1－

2

nn－

2

dd＝[(2k－n)(1－

2

2

2k)＋(2k－n)(2k－n－1)－(1－2k)n－n(n－1)]＝[2k－4k－n＋2nk＋4k－2kn－2k－2nk2＋n＋n－n＋2kn－n＋n]＝·0＝0.

2

一、选择题 1．已知 若 8＋＝8

22＋＝23

2， 3

33＋＝38

3， 8

44＋＝415

4

，…，依此规律，15

2

2

dbab，则a，b的值分别是( ) aA．48,7 B．61,7 C．63,8 D．65,8 答案 C 解析 由

22＋＝23

2， 3

33＋＝38

3， 8

44＋＝415

4

，…，归纳可得 15