江苏省南京市、盐城市2016年高考数学一模试卷含答案解析

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】利用向量的加法的三角形法以及向量的数量积的定义计算即可． 【解答】解：∵=﹣， ∴?=（+）?， =（=（=（=（

+++?

+）?﹣）（

， ）（﹣

﹣）， ），

），

﹣2

=（3×3×+32﹣2×32）， =﹣2，

故答案为：﹣2．

12．过点P（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为 x±3y+4=0 ． 【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】当点A为PB中点时，先求出PA2=10，再与圆C：（x﹣1）2+y2=5联立，求出A的坐标，即可求直线l的方程

【解答】解：由割线定理，可得（PC﹣）（PC+）=PA?PB， ∴20=2PA2， ∴PA2=10 设A（x，y），则（x+4）2+y2=10， 与圆C：（x﹣1）2+y2=5，联立可得x=﹣1，y=±1 ∴直线l的方程为x±3y+4=0． 故答案为：x±3y+4=0．

13．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=2x+

，设g（x）=

．若

函数y=g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是 [﹣，] ． 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．

【分析】根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0求出m的值，利用g（x）与f（x）的关系求出g（x）的表达式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=2x+∴f（0）=0，即f（0）=1+m=0，得m=﹣1， 则f（x）=2x﹣

，

，

则g（x）=\\left\\{\\begin{array}{l}{{2}^{x}﹣\\frac{1}{{2}^{x}}，}&{x＞1}\\\\{\\frac{1}{{2}^{x}}﹣{2}^{x}，}&{x≤1}\\end{array}\\right.，

则当x＞1时，函数为增函数，且当x→1时，g（x）→当x≤1时，函数为减函数，且g（x）≥g（1）=﹣（由y=g（x）﹣t=0得g（x）=t，

作出函数g（x）和y=t的图象如图：

要使函数y=g（x）﹣t有且只有一个零点， 则函数g（x）与y=t只有一个交点， 则﹣≤t≤， 故答案为：[﹣，]

=2﹣=， ）=﹣2=﹣，

14．设函数y=

的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶

点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是 （0，

] ．

【考点】分段函数的应用．

【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．

【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求， 则点P、Q只能在y轴两侧． 不妨设P（t，f（t））（t＞0）， 则Q（﹣t，t3+t2），

∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形， ∴?=0，

即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）

若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q； 若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．

若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0 即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt， 代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0， 即=（t+1）lnt（**）

令h（x）=（x+1）lnx（x≥e）， 则h′（x）=lnx+1+＞0，

∴h（x）在[e，+∞）上单调递增， ∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1， ∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）． ∴对于0＜a≤故答案为：（0，

，方程（**）总有解，即方程（*）总有解． ]．

二、解答题（共6小题，满分90分）

15．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣所示．

（1）求函数y=f（x）的解析式； （2）当x∈[﹣

，

]时，求f（x）的取值范围．

＜φ＜

，x∈R）的部分图象如图

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象． 【分析】（1）由图象知，A，周期T，利用周期公式可求ω，由点（结合范围﹣

＜φ＜

，可求φ，从而解得函数解析式．

，2）在函数图象上，

（2）由x∈[﹣，]，可求x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可

求得f（x）的取值范围． 【解答】解：（1）由图象知，A=2，… 又=所以T=2π=

=

，ω＞0，

，得ω=1．…

所以f（x）=2sin（x+φ）， 将点（即φ=

，2）代入，得

+φ=2k

＜φ＜

（k∈Z）， ，

+2kπ（k∈Z），又﹣

．…

）．…

所以，φ=

所以f（x）=2sin（x+（2）当x∈[﹣所以sin（x+

，）∈[﹣

]时，x+，1]，

∈[﹣，]，…

即f（x）∈[﹣，2]．…

16．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，∠ACB=

，M是棱BC的中点．

（1）求证：OM∥平面ABB1A1； （2）求证：平面ABC1⊥平面A1BC．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）推导出OM∥A1B，由此能证明OM∥平面ABB1A1． （2）推导出CC1⊥BC，BC⊥AC，从而BC⊥面ACC1A1，进而BC⊥AC1，再由A1C⊥AC1，得到AC1⊥面A1BC，由此能证明面ABC1⊥面A1BC． 【解答】证明：（1）在△A1BC中，因为O是A1C的中点，M是BC的中点， 所以OM∥A1B，…

又OM?平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1， 所以OM∥平面ABB1A1．…