概率论与数理统计习题第一章第三章

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故?1??5,6,7,??； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：?2??2,3,4,?11,12?； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?3??0,1,2,?(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ?4??i,j?1?i?j?5?; (5) 检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则?5???0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1??；

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ?6??x,y?T1?x?y?T2?；

???；

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：?7?x0?x?2?；

(8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：?8??x,y?x?0,y?0,x?y?l?；

1.3 设样本空间??x0?x?2?, 事件A=x0.5?x?1?,B?x0.8?x?1.6? 具体写出下列各事件：(1)AB; (2) A?B ; (3) A?B; (4) A?B （1）AB?x0.8?x?1?； (2) A?B=x0.5?x?0.8?；

(3) A?B=x0?x?0.5?0.8?x?2?; (4) A?B=x0?x?0.5?1.6?x?2?

1.6 按从小到大次序排列P(A),P(A?B),P(AB),P(A)?P(B), 并说明理由.

解：由于AB?A,A?(A?B),故P(AB)?P(A)?P(A?B)，而由加法公式，有：P(A?B)?P(A)?P(B) 1.7 若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;

(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛; (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.

解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

?????????P(W?E)?P(W)?P(E)?P(WE)?0.175

(2) 由于事件W可以分解为互斥事件WE,WE，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：

P(WE)?P(W)?P(WE)?0.1

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：P(WE)?1?P(W?E)?0.825. 1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问： (1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少? (2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?

解：(1) 由于AB?A,AB?B，故P(AB)?P(A),P(AB)?P(B),显然当A?B时P(AB) 取到最大值。 最大

值是0.6.

(2) 由于P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)。显然当P(A?B)?1时P(AB) 取到最小值?，最小值是0.4. 1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一个发生的概率.

解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.A,B,C至少有一个发生的概率为：

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)?0.7

1.10 计算下列各题：

(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A?B) = 0.6, 求P(AB); (2) 设P(A) = 0.8, P(A?B) = 0.4, 求P(AB); (3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。 解

（1）通过作图，可以知道，P(AB)?P(A?B)?P(B)?0.3 （2）P(AB)?1?P(AB)?1?(P(A)?P(A?B))?0.6

(3)由于P(AB)?P(AB)?1?P(A?B)?1?(P(A)?P(B)?P(AB)) ?1?P(A)?P(B)?P(AB)P(B)?1?P(A)?0.71.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？

解：用Ai表示事件“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有4*4*4?64种，每种放

法等可能。

对事件A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故P(A1)? (选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

对事件A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故

3 8P(A3)?1319? 。P(A2)?1??16816161.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少?

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事

1。 1811同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是,。

129件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为1.13 在整数0,1,2,?9中任取三个数, 求下列事件的概率： (1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5.

3解：从10个数中任取三个数，共有C10?120种取法，亦即基本事件总数为120。

2(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有C4?6种，故所求概

率为

1。 202(2) (2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有C5?10种，故所

求概率为

1。 121.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这12 只乒乓球中随机地取出两 只, 求下列事件的概率：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球. 解：分别用A1,A2,A3表示事件：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则

216C822814C461P(A1)?2??,P(A2)?2??,P(A3)?1?P(A1)?P(A2)?。

33C126633C1266111.15 已知P(A)?0.7,P(B)?0.4，P(AB)?0.5, 求P((A?B)B). 解：P((A?B)B)?P((A?B)?B)P((AB)?(BB)) ?P(B)P(B)P(AB)P(A)?P(AB)??0.5

P(B)P(B)由于-P(BB)?0，故P((A?B)B)?1.16 已知P(A)?0.6,P(B)?0.4,P(AB)?0.5。 计算下列二式： (1) P(A?B);（2）P(A?B);

解：（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?P(B)P(AB)?1?0.4?0.5?0.8; （2）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?P(B)P(AB)?1?0.4?0.5?0.6; 注意：因为P(AB)?0.5，所以P(AB)?1?P(AB)?0.5。

1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只

取一件, 求下列事件的概率：

(1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品; (2) 第三次才取到次品; (3) 第三次取到次品.

解：用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2,3），则Ai表示事件“第i次取到的是次品”（i?1,2,3）。 (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：

P(A3A1A2)?P(A1A2A3)5?。注：也可以按条件概率的含义直接计算，省略中间一步。

P(A1A2)1835 228(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：

P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?（3）事件“第三次取到次品”的概率为：

1 4此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2），

则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：P(A2A1)?1；而事件“第二次才取到次品”的概率为：P(A1A2)?P(A1)P(A2A1)?1。区别是显然的。 21.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。

解：用Ai(i?0,1,2)表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用B表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则根据全概率公式，有：

P(B)?P(A0)P(BA0)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?328

1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.

解：设Ai(i?1,2,3)表示事件“所用小麦种子为i等种子”，B表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。则根据全概率公式，有：

P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3)?0.47051.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。

解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由已知条件，显然有：

P(A)?0.51,P(A)?0.49,P(BA)?0.05,P(BA)?0.025,因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为：P(AB)?P(A)P(BA)P(AB)P(AB)102 ???P(B)P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)1511.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者因对这试验呈阳性反

应的概率为0.01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率 解：用B表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则A表示非癌症患者，显然有：

P(A)?0.005,P(A)?0.995,P(BA)?0.95,P(BA)?0.01,

因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

P(AB)?P(A)P(BA)P(AB)P(AB)95 ???P(B)P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)2941.22 仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格

率分别为95%; 90% 和96%. (1) 求该批产品的合格率;

(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少?

解：设，B1?{产品为甲厂生产},B2?{产品为乙厂生产},B3?{产品为丙厂生产},