储油罐变位识别罐容表标定08769

2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 储油罐的变位识别与罐容表标定

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表<即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况. 许多储油罐在使用一段时间后，因为地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化<以下称为变位），从而导致罐容表发生改变. 按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定. 图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体. 图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图. 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题.

<1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐<两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为?=4.1°的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示. 请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值. <2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数<纵向倾斜角度?和横向偏转角度?）之间的一般关系. 请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据<附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值. 进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性. 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据

地平线 油位探测装置 油位探针

注检油查口 口 出油管 油浮子 3 m 油位高度 油 1m 2m 6m 图1 储油罐正面示意图

1m 地平线 油位探测装置 油位探针

注检油查口 口 出油管 油浮子 油 水平线 α 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图

油位探测装置 油位探针

油位探针

β 3m

图3 储油罐截面示意图

地平线垂直线

油位探针 注油口 出油管 油浮子 1.2m

1.2m 油 α 水平线

0.4m 2.05m1.78m (a> 小椭圆油罐正面示意图

图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图

(b> 小椭圆油罐截面示意图

2018年全国大学生数学建模竞赛A题解法评述

该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组

成：

<1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正问题”. <2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题”. 具体解法如下： 第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题

按如下方式引入空间直角坐标系OXYZ<左手系）： 以油位探针所在直线与罐体底部的交点为原点O；

以罐体经过原点O的高为X轴，X轴正向指向罐体右端； 以油位探针为Z轴，h增加的方向为Z轴正方向. 符号说明：

a、b分别为罐体截面椭圆的长、短半轴

L为罐体长度，L1、L2分别为罐体左、右截面到油位探针的距离

为罐体纵向倾斜?角时、油位高度为h时的实际罐容量的理论值； 为对应的实际值；

为罐体纵向倾斜?角、油位高度为h时，截面X=x处油面到罐底的距离；

简记为

于是有

<1）无变位情况下，

，

，容易求得：

代入参数的具体值，可计算得到无变位情况下的罐容表<理论值，见表1）.

表1：无变位情况下小椭圆罐的罐容表部分结果 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L ，简记为.

10 20 30 163.59 450.27 803.54 40 50 60 1199.31 1621.00 2055.07 70 80 90 2489.15 2910.84 3306.61 100 110 120 3659.88 3946.55 4110.15 计算表1的MATLAB脚本： a=8.9。b=6。L=24.5。

V0=@(h>L.*(pi/2*a*b+a/b.*(h-b>.*sqrt(2*b.*h-h.*h>+a*b.*asin(h./b-1>>。 H=(0.1:.1:12>'。 D0=V0(H>。

评注1：对附件一在无变位情况下进油<或出油）的油位高度与实际罐容量数据作3次样条插值，并与理论值比较，可以得到修正公式，但是这一步评阅要点没有要求。 <2）罐体纵向倾斜?角时，仅考虑?>0. 容易看出<

现在，情况一，当

，时，即

）：

. 可以分三种情况讨论： ，有

此时，有

(1>

情况二，当此时，有

(2>

情况三，当

时，即

，有

此时，有

(3>

记函数

时，即

，有

用MATLAB的数值积分函数quad<自适应辛普森求积分法），根据公式(1>~(3>，对函数f(x>计算数值积分，计算出修正后的罐容表标定值<理论值，见表2） 计算表2的MATLAB脚本：

D41=[]。H=(0.1:.1:12>'。 for h=0.1:.1:12

D41=[D41。v41(h>]。 end

函数M文件v41.m

function V=v41(h>

alpha=4.1。a=8.9。b=6。

L1=4。L2=20.5。c=tand(alpha>。

f=@(x>(h-b-c*x>/2.*sqrt(b*b-(h-b-c*x>.^2>+b*b/2*asin((h-b-c*x>/b>+pi/4*b*b。 if length(h>>1 || h<0 || h>2*b return