高中数学竞赛 平面几何问题选讲

平面几何问题选讲

贾广素 编著

初等平面几何学

初等几何学包括平面几何、立体几何与解析几何，这三部分的题目类型对于竞赛选手来讲都是非常重要的，后二者常出现在一试题目中，特别是解析几何学在最近几年的竞赛试题一试中每年都会出一道题目；而平面几何对于想在全国竞赛中想拿成绩的同学来讲，也是非

常重要的，因为每年的二试（加试）试题中都会出现一道平面几何题（50分），并且是二试中最简单的一题，这当然中不能放弃的。由于立体几何与解析几何不仅是竞赛的重点，也是我们高中学习阶段高考所重点考查的内容，练习的比较多了，平面几何我们却丢掉了，因此在这里我们着重讲这平面几何。首先我们先介绍平面几何中的几个重要定理：

第一节 平面几何中的几个重要定理 1．梅涅劳斯（Menelauss）定理

如果一条直线和?ABC的边BC,CA,AB或其延长线分别交于点 （2）） P,Q,R，且有奇数个点在边的延长线上（如图1（1）

R A Q BPCQAR???1。 则

PCQARBB C A P 对于此定理的证明是不困难的，我们仅对第一个图形给出四种不同的 证明方法，请注意这四种证法。

证法一：如图所示，过点A作直线AD//PR交BC的延长线于点D， 则

CQCPARDPBPCQARBPCPDP?,???????1。 ，故QAPDRBPBPCQARBPCPDPBP B R C Q 若对于此定理应用正弦定理以及面积法也可得出相同的结论： 证法二（正弦定理证法）：设?BRP??,?CQP??,?QPB?? A 则在?BPR中，有

BPsin??， RBsin?R Q D B C P 同理可得：

CQsin?ARsin??,?，此三式相乘即证。 CPsin?AQsin?S?CQR?S?CPQS?RCPBPS?PRBCQS?CQRS?CPQ?证法三（面积法）：由， ????PCS?PRCQAS?QARS?PAQS?QAR?S?PAQS?ARPARS?ARP?，现将上述三式相乘，即可得所证结论。 RBS?RBP证法四：如图所示，设hA,hB,hC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则

BPCQARhBhChA??????1。 PCQARBhChAhB梅涅劳斯逆定理：设P,Q,R是?ABC的三边BC,CA,AB或

其延长线上的点，并且这三点中位于?ABC边上的个数是0或是2，若

BPCQAR???1，PCQARB则P,Q,R三点共线。

证明：设直线P,Q交AB于点M，则由梅涅劳斯定理，得到

BPCQAM???1，由PCQAMB题设条件知

BPCQARAMARAMAR???1，即有，又由合比定理知，故有??PCQARBMBRBABABAM?AR，从而M,R重合，即P,Q,R三点共线。

说明：（1）“P,Q,R三点中有奇数个点在边的延长线上”这一条件十必要，否则的话，梅涅劳斯定理就不成立了；

（2）恰当地选择三角形的截线或作出截线，是应用梅涅劳斯定理定理的关键，其逆定理常用来证明三点共线；

（3）此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；

（4）也可以将上述两个定理合写成：设P,Q,R分别是?ABC的三边BC,CA,AB所在直线（包括三边的延长线）上的点，则P,Q,R三点共线的充要条件是

BPCQAR???1。 PCQARB例1．如图所示，?O1与?O2和?ABC的三边所在的3条直线都相切，E，F，G，H为切点，直线EG与FH交于点P，求证：PA?BC。（1996年全国高中数学联赛二试题第3题）

P G H O1 A O C F E B D

（利用梅

涅劳斯定理做：）

过点A作AD?BC于点D，延长DA交直线HF于点P/ 由梅涅劳斯定理有

AHBFDP/???1 /BHDFAPAHDP/??1 ?BF?BH?DFAP/?O1F//AD//O2F,?AGO1~?AHO2

?AO1DEAGAHAG??，? ?DFAO2AHDFDE又?CE?CG

AHDP/AGDP/DP/AGCE ?1???????DFAP/DEAP/AP/CGDE由梅涅劳斯的逆定理知P/、G、E三点共线，即P/为直线EG与FH的交点。因此点P/与点P重合，所以PA?BC

例2．若直角?ABC中，CK是斜边上的高，CE是?ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF//CE。

证：?在?EBC中，作?B的平分线BH则：?EBC??ACK?HBC??ACE?HBC??HCB??ACE??HCB?90?即：BH?CE??EBC为等腰三角形作BC上的高EP，则：CK?EP对于?ACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有：CDAEKF???1DAEKFCKFEKCKEPBPBK于是＝????FCAEACACBCBEKFBK即：＝FCBEKFBK依分比定理有：＝KCKE ??FKB??CKE

?BF//CE

BABP?cos?PBC证：易得：1??,CA1CP?cos?PCBCB1CP?cos?PCA??AB1AP?cos?PACAC1AP?cos?PAB??BC1PB?cos?PBA将上面三条式子相乘，且??PAC??PBC,?PAB??PCB,?PCA??PBA?180?可得BA1CB1AC1??＝1，CA1AB1BC1

例3．点P位于?ABC的外接圆上，

A1,B1,C1是

从点P向BC,CA,AB所引垂线的垂足，

求证：

A1,B1,C1三

依梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线；