2015年浙江省数学竞赛试题与答案解析(详细解答)

?a?b?2?0a?2b?4．若实数a,b满足?b?a?1?0，则的最大值为 ( C )．

2a?b?a?1?A． 1 B． 答案：C.

解答：由a,b满足的条件知1?57 C． D． 2 45a?2bb?3，所以?2?a2a?b32?ba?713，当(a,b)?(,)取等号。

225

5． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则

S?PQRS?ABC的最小值为( D )．

1111 B． C． D． 2345参考答案：D.

解答：如图5-1所示，

A． A

A P H

R P B Q C R Q B C 图5-1 图5-2

（1）当?PQR的直角顶点在?ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，

.?APR,?BQR中分别应用正弦?APR??CQR?180??BQR,所以sin?APR?sin?BQR在

定理得

PRARQRBR?,?.又?A??B?45,故PR?QR,故AR?BR即R为ABsinAsinAPRsinBsinBQR的中点.

S?PQR1RH过作RH?AC于，则PR?RH?BC,所以

2S?ABC的最大值为

1(BC)2S?PQRPR12???,此时

BC2BC24S?ABC21. 45-2

所示，设

（2）当?PQR的直角顶点在?ABC的直角边上，如图

BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ??(0???在Rt?CPR中，PR??2),则?CPR?90??PRC??BRQ??.

CRx?, sin?sin?x3,?RQB????QRB??B????, sin?4xPQRB1?x由正弦定理, ??sin???

?3sinBsin?PQBsinsin(???)44x111x2112?)?()2. ，因此S?PQR?PR?(sin?cos??2sin?22sin?2cos??2sin?在?BRQ中，BR?1?x,RQ?PR?这样，

S?PQRS?ABC?(111)2??，当且仅当??arctan2取等号，222cos??2sin?(1?2)(cos??sin?)515此时

S?PQRS?ABC的最小值为.

6. 已知数列?an?的通项an?数x等于（ D )． A．?nx(x?1)(2x?1)(nx?1) ，n?N，若a1?a2?*?a2015?1，则实

35911 B．? C．? D．? 2406012答案：D.

an?(nx?1)?111??(x?1)(2x?1)(nx?1)(x?1)(2x?1)[(n?1)x?1](x?1)(2x?1)(nx?1)

2015则

?ak?1?k?11?1?(x?1)(2x?1)(x?1)(2x?1)(2015x?1)?(?(2015x?1)?0，所以

111x?(?1,?)?(?,?)?234意。

11111,?)?(?,??)，经检验只有x??符合题201320142015607． 若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于 ( C )． ．．．

261961636 B． C． D．

553175答案：C.

A．

解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a，面积为S,过P的直线的倾斜角为

??(0???)。

2当

过

点

P,Q的直线为正方形的对边所在的直线时，

PQsin??a?RScos??sin??4cos??sin??S?(PQsin?)2?16。 17417，此时正方形的面积

同理，当过点P,R的直线为正方形的对边所在的直线时，S?对边所在的直线时，S?36；当过点P,S的直线为正方形的5196. 538．若集合A?(m,n)(m?1)?(m?2)???(m?n)?102015,m?Z,n?N*?，则集合A中的元素

个数为( B )．

A．4030 B．4032 C． 20152 D． 20162 答案：B.

解答：由已知得n(n?2m?1)?2201620155，因为n,n?2m?1一奇一偶，所以n,n?2m?1两者之一

为偶数，即为22016,220165,2201652,,2201652015共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所

以集合A共有4032个元素.

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）

9．已知函数f(x)满足f(x?1)?f(1?x)?，0f(x?2)?f(2?x)?0，且f()?1，则

231000f()? ．

3答案：?1.

解答：f(x?2)?f(?2x?)f?[1x?(?1?)f]?x[1?(?f?1x)?f(，x所?以f?x100044112f()?f(332?)?f()?f(1?)??f(1?)??f()??1.

33333310．若数列{an}的前n项和Sn?n?n，n?N，则?32*2015i?11= ．

ai?8i?2答案：

2015. 6048解答：an?2015?a??aii?1i?1nn?1i?3n2?5n?2,又a1?0，故an?3n2?5n?2(n?N*),

20152015111201511. ??(?)????a?8i?23i(i?1)3ii?16048i?1ii?1i?111． 已知F为抛物线y?5x的焦点，点A (3，1)， M是抛物线上的动点．当|MA|?|MF|取最小值时，点M的坐标为 ． 答案：(21,1). 5解答：设抛物线的准线为l:x5??.过M作l的垂线，垂足为H,则

41AM?MF?AM?MH?AH,当A,M,H三点共线时取等号，此时M的坐标为(,1)。

512．若16答案：?sin2x?16cos2x?10，则cos4x? . 1. 2sin2x解答:设t?16即

,1?t?16，则16cosx?161?sinx?221616?10?t?2,或t?8，，代入方程得t?tt113sinx?或，所以cos4x??。

4422{?13. 设函数f(x)?minx21,x??1,x?，1}其中minx{y,z,表}示x,y,z中的最小者．若

f(a?2)?f(a，则实数)a的取值范围为 ．