2021版高考数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.5基本不等式教学案苏教版

所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.

因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．

当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使

用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

(2019·上海模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常

采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费. 某化工

2x厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元．

(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；

(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？ [解](1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)＝＋，其中

2xBxACBxACA为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费．

由题意可得：A＝6 000，B＝120，C＝2 500， 15 000 000

所以年存储成本费T(x)＝60x＋，

x若该化工厂每次订购300吨甲醇， 所以年存储成本费为

T(300)＝60×300＋

15 000 000

＝68 000.

300

15 000 000

(2)因为年存储成本费T(x)＝60x＋，x＞0，

x15 000 000所以T(x)＝60x＋≥260×15 000 000＝60 000，

x15 000 000当且仅当60x＝，即x＝500时，取等号．

x所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元．

考点3 基本不等式的综合应用 基本不等式的综合应用的2类问题

(1)与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为载体，以基本不等式为解题工具，求解最值或取值范围．

(2)求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．

14

(1)(2019·台州模拟)若两个正实数x，y满足x＋y＝1，且存在这样的x，y使不

等式x＋4＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是( )

A．(－1,4) B．(－4,1)

C．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，＋∞)

(2)(2019·衡阳一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．函数y＝[x](x∈R)称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－2

2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝2x，则函数y＝[f(x)]的值域是( )

1＋2

A．{0,1} C．(0,1)

B．(0,1] D．{－1,0,1}

x＋1

y(3)(2019·定远模拟)已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos

C＝ccos B，则A.

111＋＋的最小值为( ) tan Atan Btan CB.5

27

37 3

C.D．25

14

(1)C (2)A (3)A [(1)∵正实数x，y满足＋＝1，

xyy?y??14?4xy∴x＋＝?x＋??＋?＝2＋＋≥2＋2

4?4??xy?y4x4xy·＝4， y4x4xy14y2

当且仅当＝且＋＝1，即x＝2，y＝8时取等号，∵存在x，y使不等式x＋＜my4xxy4＋3m有解，

∴4＜m＋3m，解得m＞1或m＜－4，故选C. 22

(2)f(x)＝＝， 2x1＋21x2＋x21x∵2＋x≥2，∴0＜f(x)≤1，

2

则函数y＝[f(x)]的值域为{0,1}，故选A.

x＋1

2

(3)∵2bcos C＝ccos B， ∴2sin Bcos C＝sin Ccos B， ∴tan C＝2tan B．又A＋B＋C＝π， ∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C) tan B＋tan C3tan B3tan B＝－＝－， 2＝2

1－tan Btan C1－2tanB2tanB－11112tanB－111∴＋＋＝＋＋ tan Atan Btan C3tan Btan B2tan B27＝tan B＋. 36tan B又∵在锐角△ABC中，tan B＞0， 27∴tan B＋≥236tan B当且仅当tan B＝∴?

2727

tan B×＝， 36tan B3

2

7

时取等号， 2

?1＋1＋1?＝27，故选A.]

?min3

?tan Atan Btan C?

条件不等式的最值问题，常通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．在

转化过程中相应知识起到穿针连线的作用．

31m 1.已知a＞0，b＞0，若不等式a＋b≥a＋3b恒成立，则m的最大值为( )

A．9 C．18

31mB [由＋≥，

aba＋3bB．12 D．24

?31?得m≤(a＋3b)?＋?

?ab?

＝又

9ba＋＋6.

aabb9ba9ba＋＋6≥29＋6＝12(当且仅当＝，即a＝3b时等号成立)，

ab∴m≤12，∴m的最大值为12.]

2．两圆x＋y－2my＋m－1＝0和x＋y－4nx＋4n－9＝0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，41

且mn≠0，则2＋2的最小值为( )

2

2

2

2

2

2

mnA．1 C．3

B．2 D．4

D [由题意可知两圆内切，x＋y－2my＋m－1＝0化为x＋(y－m)＝1，x＋y－4nx＋411?41?22222222

4n－9＝0化为(x－2n)＋y＝9，故4n＋m＝3－1＝2，即4n＋m＝4，2＋2＝?2＋2?(4nmn4?mn?4nm＋m)＝2＋2＋2≥2＋2

m4n2

2

2

2222222

4nm2

·＝4.] m24n2

*

2

3．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn(n∈N)，若a1＝d＝1，则是________．

9n [an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝2

1＋n， 2

Sn＋8

的最小值ann1＋nSn＋8∴＝

an2

＋8

n1?16?1?＝?n＋＋1?≥?2

n2??2?

n·＋1?＝，

n?2

16

?9

当且仅当n＝4时取等号． ∴

Sn＋89

的最小值是.] an2