2021版高考数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.5基本不等式教学案苏教版

?1??1?1．若本例条件不变，求?1＋??1＋?的最小值．

?

a??

b?

?1??1??a＋b??1＋a＋b?

[解] ?1＋??1＋?＝?1＋???

?

a??

b??

a??

b?

＝?2＋?·?2＋?

??

b??a??a?b?

?ba?＝5＋2?＋?≥5＋4＝9.

?ab?

1

当且仅当a＝b＝时，等号成立．

2

11

2．若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解＋的最小值．

ab12

[解] 因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.

33

11?11??12?12a2b所以＋＝?＋??a＋b?＝＋＋＋≥1＋2

ab?ab??33?333b3a当且仅当a＝2b时，等号成立．

a2b22·＝1＋. 3b3a3

ab 常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求x＋y的最值”的问题，

ab?ab?x＋y?先将x＋y转化为??x＋y?·t，再用基本不等式求最值．

[教师备选例题]

1|a|

设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．

2|a|b－2 [∵a＋b＝2，b>0， ∴＝

1|a|2|a|a＋b|a|＋＝＋＝＋ 2|a|b4|a|b4|a|bab|a|a＋＋≥＋24|a|4|a|b4|a|b|a|a×＝＋1， 4|a|b4|a|

b|a|

当且仅当＝时等号成立．

4|a|b又a＋b＝2，b>0， ∴当b＝－2a，a＝－2时，

1|a|

＋取得最小值．] 2|a|b11

(2019·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则a－1＋2b的最小值为( )

3

A.＋2 2C．3＋22

32B.＋ 4212D.＋ 23

A [已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1， 又a－1＞0，则

11?1＋1? ＋＝[(a－1)＋b]??a－12b?a－12b?

1a－1b3

＝1＋＋＋≥＋2

22ba－12当且仅当则

a－1b3

×＝＋2. 2ba－12

a－1b＝，a＋b＝2时取等号． 2ba－1

113

＋的最小值为＋2.故选A.] a－12b2

消元法求最值

对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可

尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元)．

(2019·嘉兴期末)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为

( )

A．5＋26 C．5

B．82 D．9

A [∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1， ∴a＝

b＋1

＞0，∴b＞2， b－2

b＋13

＋2b＝2(b－2)＋＋5 b－2b－2

2

∴a＋2b＝≥5＋2

b－2·＝5＋26.

b－2

36

，即b＝2＋时取等号． b－22

3

当且仅当2(b－2)＝

∴a＋2b的最小值为5＋26.故选A.]

b＋1

求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab－1”变形为“a＝b－2，然后借助配凑

法求最值．

ab (2019·新余模拟)已知正实数a，b，c满足a－2ab＋9b－c＝0，则当c取得

2

2

3112

最大值时，a＋b－c的最大值为( )

A．3 C．1

2

9B. 4D．0

2

C [由正实数a，b，c满足a－2ab＋9b＝c，得

abab1＝2＝＝ca－2ab＋9b2a2－2ab＋9b2

ab11a9bab1

≤，当且仅当＝，即a＝3b时，取最大值.

a9b4bac4＋－2

ba又因为a－2ab＋9b－c＝0， 所以此时c＝12b，

2

22

?1＋2－1??b?31121?1??b?

所以＋－＝?2－?≤＝1，

abcb?b?4

故最大值为1.]

利用两次基本不等式求最值

当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；

需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．

已知a＞b＞0，那么a＋b4 [由题意a＞b＞0，则a－b＞0，

2

2

1

a－b的最小值为________．

?b＋a－b?＝a，

所以b(a－b)≤??

?2?4

所以a＋

2

2

2

b142

≥a＋2≥2a－baa2·2＝4，

a4

42122

当且仅当b＝a－b且a＝2，即a＝2，b＝时取等号，所以a＋的最小值

a2ba－b为4.]

由于b＋(a－b)为定值，故可求出b(a－b)的最大值，然后再由基本不等式求

出题中所给代数式的最小值．

a4＋4b4＋1

若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________． aba4＋4b4＋124a4b4＋14a2b2＋11

4 [因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2abababab1

4ab·＝4，

aba＝2b，??

当且仅当?1

ab＝?2?

22

a4＋4b4＋1

时取等号，故的最小值是4.]

ab考点2 利用基本不等式解决实际问题

利用基本不等式解决实际问题的3个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度

x(km/h)(50≤x≤120)

2

的关系，

可近似表示为y＝

1??75x－130x＋4 900，x∈[50，80?x??12－60，x∈[80，120].

(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？

(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？

1212

[解](1)当x∈[50,80)时，y＝(x－130x＋4 900)＝[(x－65)＋675]，

75751

所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.

75当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，

60120

故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.

60

因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．

120

(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·，

xx①当x∈[50,80)时，l＝y·

1208?4 9008?－130?＝?x＋≥?2?xx5??5?

x·4 900?

－130?＝16，

x?

4 900

当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.

x1201 440②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，

xx