2021版高考数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.5基本不等式教学案苏教版

第五节 基本不等式

[最新考纲] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式：ab≤

a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中

a＋b2

称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．

2．两个重要的不等式

(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

2

2

?a＋b?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(2)ab≤??

?2?

3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

4[常用结论]

1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

2

s2

baab2．ab≤?3.

21＋

?a＋b?

2

?≤2. ?2?

a＋ba2＋b2

2

(a＞0，b＞0)．

a2＋b2

≤ab≤≤12

ab

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a＋b≥2ab与

2

2

a＋b2

≥ab成立的条件是相同的．

( )

13

(2)若a>0，则a＋2的最小值为2a. ( )

a4

(3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4. ( )

sin x(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件． [答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编

1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 C．81

2

B．77 D．82

xyyx( )

?x＋y?＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]

C [xy≤??

?2?

1

2．若x<0，则x＋( )

xA．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 D [因为x<0，

1

所以－x>0，－x＋≥21＝2，

－x当且仅当x＝－1时，等号成立， 1

所以x＋≤－2.]

x3．函数f(x)＝x＋

1

(x>2)的最小值为________． x－2

1

＋2≥2 x－2

1

4 [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋

1

x－2×＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．]

x－2x－2

4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m. 25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y， 1

则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，

2

2

x＋10－x?2?则y＝x(10－x)≤??＝25， 2??

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]

考点1 利用基本不等式求最值

配凑法求最值

配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添

ab项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋x(a＞0)，a＋ab的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.

(1)(2019·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是

( )

9

A. 8C．3

9B. 4D．9

x2＋2

(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．

x－1

51

(3)已知x>，则y＝4x＋的最小值为________，此时x＝________.

44x－5(1)C (2)23＋2 (3)7

31

[(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋23

1?3a＋a＋3b?21?6?22

3b)≤?＝×??＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大?23?3?3?2?值是3.

(2)∵x>1，∴x－1>0，

x2＋2x2－2x＋1＋2x－2＋3

∴y＝＝

x－1x－1

＝

x－1

2

＋2x－1＋3

x－1

＝(x－1)＋

3

＋2≥23＋2. x－1

3

，即x＝3＋1时，等号成立． x－1

当且仅当x－1＝

5

(3)∵x>，∴4x－5>0.

4

y＝4x＋

11＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7. 4x－54x－5

13

当且仅当4x－5＝，即x＝时上式“＝”成立．

4x－523

即x＝时，ymin＝7.]

2

551

[母题探究] 把本例(3)中的条件“x>”，改为“x<”，则y＝4x＋的最大值为

444x－5________，此时x＝________.

1?51?3 1 [因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x＋＝－?5－4x＋＋5≤－

5－4x?44x－5??2

1

5－4x×＋5＝－2＋5＝3.

5－4x1

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．

5－4x1

故y＝4x＋的最大值为3.此时x＝1.]

4x－5

(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：a(a＋

3?a＋a＋3b?2

??3b)≤?2?，当且仅当a＝a＋3b，且4a＋3b＝6，即a＝2，b＝0时，a(a＋3b)的最大9

值为4，从而错选B.

(2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2)．

常数代换法求最值 常数代换法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．

11

已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则a＋b的最小值为________．

11?11??ba?4 [因为a＋b＝1，所以＋＝?＋?(a＋b)＝2＋?＋?≥2＋2

ab?ab??ab?

ba·＝2＋2＝4.当且ab仅当a＝b时，等号成立．]

[母题探究]