[成才之路]2015-2016学年高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质练习 北师大版选修1-1

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质

练习 北师大版选修1-1

一、选择题

1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为( ) 4

A．5,3，

53

C．5,3， 5[答案] B

[解析] 椭圆25x2＋9y2＝225化为标准方程为＋＝1，∴a2＝25，b2＝9，

259∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，

4

B．10,6，

53

D．10,6，

5

y2x2

c4

离心率e＝＝，故选B.

a5

2．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率为( ) 1A. 5C.3 3

B．

3 4

1D．

2

[答案] D

c1

[解析] 由题意得a＝2c，∴离心率e＝＝.

a2

3．椭圆2x2＋3y2＝6的焦距是( ) A．2 C．25 [答案] A

[解析] 椭圆方程可化为＋＝1，

32∴c2＝a2－b2＝1.∴c＝1. ∴焦距2c＝2.

B．2(3－2) D．2(3＋2)

x2y2

x2y210

4．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是( )

5m5

A．3

25

B．3或 3515

D．5或 3

C.15 [答案] B

[解析] 若5>m，e＝

5－m10

＝，m＝3. 55

若m>5，e＝m－51025＝，m＝. m53

5．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )

A.＋＝1

8172C.

＋＝1 8145

x2y2

B．＋＝1

819D．

＋＝1 8136

x2y2

x2y2x2y2

[答案] A

[解析] 由2a＝18得a＝9， 又a－c＝2c，

∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝81－9＝72. 故椭圆的方程为＋＝1.

8172

6．椭圆＋＝1与＋＝1(0

2599－k25－kA．有相等的长、短轴 C．有相同的焦点 [答案] B

[解析] ∵0

B．有相等的焦距

D．x，y有相同的取值范围

x2y2

x2y2x2y2

x2y22

7．(2015·四川)椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，

ab2

→→

且PC·PD＝－1，则椭圆E的方程为________．

[答案]

x2y2

4

＋＝1 2

[解析] 由已知，点C、D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)． →→

又P点的坐标为(0,1)，且PC·PD＝－1，

?c2于是?＝，a2

?a＝b＋c，

2

2

2

1－b2＝－1，

解得a＝2，b＝2，

所以椭圆E方程为＋＝1.

42

8．若椭圆两焦点F1(－4,0)，F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程为________．

[答案]

＋＝1 259

x2y2

x2y2

[解析] ∵焦点为(－4,0)，∴c＝4，且焦点在x轴上又最大面积为bc＝12，∴b＝3，∴a2＝16＋9＝25，

∴椭圆方程为＋＝1.

259三、解答题

9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)短轴长为6，两个焦点间的距离为8；

(2)两个顶点分别是(－7,0)，(7,0)，椭圆过点A(1,1)； (3)两焦点间的距离为8，两个顶点分别是(－6,0)，(6,0)．

48y2x2y2x2y2

[答案] (1)＋＝1或＋＝1 (2)＋＝1 (3)＋＝1或＋＝1

259925494936203652[解析] (1)由题意得b＝3，c＝4， ∴a2＝b2＋c2＝9＋16＝25

∵焦点位置不定，所以存在两种情况．

x2y2

x2y2x2y2x2

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

259925(2)当焦点在x轴上时，

∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)，∴a＝7.

x2y2x2y2

y2

∴方程可设为＋2＝1，又过点(1,1)，

49b49x248y2

代入可得b＝，∴椭圆方程为＋＝1.

484949

2

x2

当焦点在y轴上时，∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)， ∴b＝7.

y2x2

∴椭圆方程可设为2＋＝1，又过点(1,1)，代入可得

a49

49

a＝，这与a2>b2矛盾，∴不符合题意．

48

2

48y2

综上可知，椭圆方程为＋＝1.

4949

(3)∵2c＝8，∴c＝4，当焦点在x轴上时，因为椭圆顶点为(6,0)，∴a＝6，∴b2＝36－16＝20，

∴椭圆方程为＋＝1.

3620

当焦点在y轴上时，因为顶点为(6,0)，∴b＝6. ∴a＝36＋16＝52，∴椭圆方程为＋＝1.

3652

2

x2

x2y2

x2y2

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

36203652

10．当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．

[答案] (1)〒5 (2)－55

x2y2x2y2

?y＝x＋m，

[解析] 由?2消去y得，

?9x＋16y2＝144.

9x2＋16(x＋m)2＝144，

化简整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0，