第2章新 控制系统的数学模型

第2章 控制系统的数学模型

控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的等都可以用微分方程加以描述。对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。

建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其响应，按照物理量随时间的变化规律，用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章主要采用解析法建立系统的数学模型。

数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。

2.1 物理系统动态描述

微分方程是在时域中描述系统(或元件)动态特性的数学模型，利用它可以得到描述系统（或元件)动态特性的其他形式的数学模型。这里主要运用机理建模法对常见的机械、电气等物理系统建立其数学模型。

2.1.1列写微分微分方程的一般方法

列写系统或元件的微分方程，目的在于确定系统输入量与输出量之间的数学关系，而系统由元件组成。用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：

⑴ 根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量；

⑵ 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；

⑶ 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；

⑷ 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，各阶导数项按降幂排列。

2.1.2机械系统的微分方程

机械系统的微分方程可以运用牛顿定律进行推导。下面通过举例说明机械系统微分方程的求取方法。

1. 机械系统微分方程

例2-1设有一个由弹簧、质量、阻尼器组成的机械平移系统，如图2-1所示。试列写出系统的数学

2-1

模型。

kF（t）mfy

图2-1 机械平移系统

解 由牛顿第二定律有ma(t)??F(t)，即

d2y(t)dyt()?F(t)?Ft(?)Ft(?)Ft?(f)?Kyt () mfkdt2dtmd2（yt）fd(y)t1??y(t)?F(t ) （2-1）整理得 2KdtKdtK式中：m—运动物体质量，kg；

y—运动物体位移，m；

f—阻尼器粘性阻尼系数，N?s/m；

Ff(t)—阻尼器粘滞摩擦阻力，它的大小与物体移动的速度成正比，方向与物体移动的

方向相反， Ff(t)?fk—弹簧刚度，N/m；

dy(t)； dtFk(t)—弹簧的弹性力，它的大小与物体位移（弹簧拉伸长度）成正比，Fk(t)?Ky(t)。

运动方程式（2-1）即为此机械平移系统的数学模型。

例2-2设有一个由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械回转系统，如图2-2所示。外力矩M(t)为输入信号，角位移θ(t)为输出信号，试列写出系统的数学模型。

M(t)Jfθ(t)

图2.-2 机械回转系统

解 由牛顿第二定律，有Je(t)??M(t)，即

d2?(t)d?(t)J?M(t)?M(t)?M(t)?f f2dtdt 2-2

d2?(t)d?(t)整理得 J?f?M(t) （2-2） 2dtdt式中： J—惯性负载的转动惯量，kg?m2；

θ—转角，rad；

f—粘性摩擦阻尼器的粘滞阻尼系数，N?m?s/rad； kJ —扭转弹簧刚度，N.m/rad；

运动方程式（2-2）就是此机械旋转系统的数学模型。

例2-3设有如图2-3所示的齿轮传动链，试对传动链进行动力学分析。

TmMJ1θ1T2T1J2θ2T4T3J3θ3LTLTmMJeqfeqLeqTeq

a) 原始轮系图 b) 等效轮系 图2-3 齿轮传动链

解 由电动机M输入的转矩为Tm，L为输出端负载，TL为负载转矩。图中所示的zi为各齿轮齿数，J1、J2、J3及θ1、θ2、θ3分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。

假设各轴均为绝对刚性，即KJ→∞，根据牛顿第二定律式可得如下动力学方程组

?Tm?J1?1?f1?1?T1?\'?T2?J2?2?f2?2?T3? （2-3）

?\'T4?J3?3?f3?3?TL??式中： f1、f2、f3——传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；

T1——齿轮z1对Tm的反转矩，N?m； T2——z1对T1的反转矩，N?m； T3——z3对T2的反转矩，N?m； T4——z4对T3的反转矩，N?m；

TL——输出端负载对T4的反转矩，即负载转矩。 由齿轮传动的基本关系可知：

\'T2?z2zT1,?2?1?1；T4?z4T3,?3?z3?2?z1z3?1 z1z2z3z4z2z4

于是由式（2-3）可得：

2-3

zTm?J1?1?f1?1?1z2\'''?\z3?\??J??f??J??f??T2233?323L???2z????42222??\??z1??z1z3??z1??z1z3??'?z1z3???J1???J2???J3??1??f1???f2???f3??1???TLzzzzzzzz????2??24??2??24???24????? （2-4）

?z1??z1z3?J?J?J?令eq??2??J3；Jeq称为等效转动惯量； 1?z2??z2z4?令feq22?z??zz??f1??1?f2??13?f3；feq称为等效阻尼系数；

?z2??z2z4?22?z1z3?T?令Leq??TL；TLeq称为等效输出转矩。

?z2z4?则有 Tm?Jeq?1?feq?1?TLeq （2-5） 则图2-3（a）所示传动装置可简化为图2-3（b）所示的等效齿轮传动装置。 2.1.3 电气系统的微分方程

电气系统的微分方程根据欧姆定律、基尔霍夫定律（克希荷夫定律）、电磁感应定律等物理定律来进行列写，下面通过举例来说明列写方法。

例2-4 图2-4所示为一无源滤波器电路，试写出以输出电压uo(t)和输入电压ui(t)为变量的滤波网络的微分方程。

\'RuiiC uo

图2-4 RC电路 解 根据基尔荷夫定律（克希荷夫定律），可写出下列原始方程式；

1?i(t)R?i(t)dt?ui(t)?C? ? （2-6） ??1i(t)dt?u(t)o??C?消去中间变量i(t)后得到

RCduo(t)?uo(t)?ui(t) （2-7） dt式（2-7)就是所求系统的微分方程。

以上所讨论的系统均具有线性微方程，将具有线性微分方程的控制系统称为线性系统。对于一般研究的系统，其微分方程式的系数均为常数，称之为线性定常(或线性时不变)系统。线性系统具有以下特性。

叠加性 线性系统满足叠加原理，即几个外作用施加于系统所产生的总响应等于各个外作用单独

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