(完整版)统计学第5-6章正态分布、统计量及其抽样分布

度）。 （4）

x若

2分布具有可加性。

X与Y是相互独立的随机变量，

X~x2(n1),Y~x2(n2)，则它

的

们的和服从于自由度为

n1?n2x2分布，即

X?Y~x2(n1?n2)。

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x22x分布临界值表的使用，求得分布的分位数

x22分布临界值表中给出的是概率为

2???时，

x?的取值，k是自由度。

2P(x?x?)??2f(x)dx??

x?0.2φ(x)0.1?0x2?x

2X:?(10)， 例如，若随机变量

2?则查表可得?0.05(10)?3.94，0.95(10)?18.307，

25.2.2 t分布（student分布）

设随机变量

X,Y互相独立，

X~N(0,1),Y~x(n)，则随机变量

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2Xt?~t(n)——自由度为n的t分布

Yn0.4k=30k=2φ(t)0.2k=60-50t5

t分布概率密度函数图

特点：

① 关于y轴对称，与标准正态分布的密度函数的图像非常相似。 ② 厚尾：当

x??时，t分布的密度函数趋于0的速度要比标准正态分

布密度函数慢，所以t分布的密度函数的尾部要比尾部厚些。

N(0,1)密度的

(n)为分

③ 当自由度n无限增大时，t分布将趋近于标准正态分布。

所以，当n很大时，t分布可以用标准正态分布近似。记t?布

t(n)的?分位数。

在实际使用中，当

0.4n?30,就近似有 t?(n)?Z?

φ(t)0.2?0-50t?t5

由于t分布密度曲线的对称性，可得

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t?(n)??t1??(n)

例如，若随机变量T而0.95，:t(15)，查表可得，t0.05(15)?1.7531

t(15)??t0.05(15)??1.76531

t0.05(40)?1.6839,t0.05(45)?1.6794 Z0.95?1.645

可见随着自由度n的增大，t分位数与z分位数越来越接近。 5.2.3 F分布

2mn?设随机变量X与Y相互独立且分别服从自由度为和的分布。则随机变量F?X/m服从第一自由度为

Y/nm第二自由度为

n的F分布。

记为

F:F(m，n)

1F(100,10)F(10,10)F(5,10)0.5F(2,10)φ(x)00123x4

F分布的概率密度函数的图

设随机变量

F:F(m,n)，

分位数，

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F?(m,n)表示分布F(m,n)的?

φ(x)0.60.40.200F?5?x10

可以证明

1F?(m,n)?F1??(n,m)

例如查表得

F0.95(8,9)=3.23，

11F0.05(9,8)==?0.31则 F0.95(8,9)3.235.6 小概率原理

指发生概率很小的随机事件在一次实验中几乎不可能出现。

6.1 统计量

定义：设

X1,X2,L,Xn是从总体X中抽取的容量为

n的一个样本，

如果由此样本构造一个不依赖于任何未知参数的函数

T(X1,X2,L,Xn)，则称函数T(X1,X2,L,Xn)是一个统计量。

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