数学物理方程试卷及答案(精.选)

?dU??a2?2U?F[?,t]?并设f(x,t)的Fourier变换为F(?,t) ，?(x)的Fourier变换为?(?)，得：?dt ，

??U|t?0??[?]te4ate4a(t??)(??t)d??F[?(x)]F[]??F(?,?)F[]d?.

02a?t2a?(t??)2?x2?x22对其求解可得U(?,t)??(?)e?a?t22??F(?,t)ea?0t22进行Fourier逆变换，并利用卷积性质，有：

u(x,t)???(?)????eed???d??f(x??,?)d?0??2a?t2a?(t??)t????(x??)24a2t??24a2(t??)??12a1?t????????24a2t???(x??)ed??12a?1?ttd?0????????f(x??,t??)e??24a2?d?

2???(x?2at?)e??d??2??0d????f(x?2a??,t??)e??d?六、I 证：令取x?t/q ，y(x)?x?P(x)?(t/q)?P(t/q)?t?Y(t)，

则y'(x)?(t?Y'(t)??t??1Y(t))q,y''(x)?(t?Y''(t)?2?t??1Y'(t)??(??1)t??2Y(t))q

代入方程xy''?pxy'?q(x?r)y?0中，变形为tY''(t)?(p?2?)tY'(t)?(x?qr?p???(??1))Y(t)?0 若令p?2??1,??22221?p1222，方程成为：xY''(x)?xY'(x)?(x?qr?(p?1))Y(x)?0 24这是一个n阶Bessel方程(n?4pr?(p?1)2/2)

1?p??1,n?4qr?(p?1)2/2?5 2II 解：对所给方程，取p?3,q?4,r?6得??知所给方程化成的Bessel方程是5阶的，有通解Y(t)?c1Jn(t)?c2Yn(t)，

?1因此，原方程的通解为y(x)?x(c1J5(2x)?c2Y5(2x))。

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