数学物理方程试卷及答案(精.选)

考试试题纸卷 课程名称 数理方法 专业班级 2017 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 100 题分 20 15 15 15 20 15 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、 填空题（按顺序将正确答案填写到答题本上。本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1 每一个物理过程都处在特定的条件之下，常常使用一个偏微分方程和相应的初始条件和边界条件对物理过程中的某个状态的变化过程进行描述，形成一个（A）问题。偏微分方程只给定初始条件时称为（B）问题。解的（C）称为问题的适定性。 ?2u?2u?6xu?5t?0属于（D）型方程。 2 二阶线性偏微分方程2?5?x?x?t3 以下说法： （1）第一类n阶Bessel函数Jn(x)与第二类Bessel函数Yn(x)是线性无关的； （2）半奇数阶的第一类Bessel函数都是初等函数； （3）任意两个第一类Bessel函数Jn(x)、J?n(x)都是线性相关的； （4）对任何正数n,limJn(x)?0； x??（5）n为整数时，Jn(0)?0，n不为整数时，Jn(0)??。 其中正确的有（E）。 ?2u?2u?2u?32?0确定的解u(x,t)依赖过(x,t)的两条直线在x4 由波动方程2?2?t?t?x?x轴所截得的区间 （F） 上的初始条件u|t?0??(x),ut|t?0??(x)，这两条直线与x轴围成的三角形区域称为由依赖区间所确定的 （G） . ?X''??X?05 边值问题? 的固有值为 （H） ,固有函数为 （I） . X'|?0,X|?0x?L?x?0 word.

二、（15分）用达朗贝尔公式求解半无界区域上弦振动定解问题： ??2u?2u??t2=?x2,0?x???，t?0? ?2?u?u?0,u?x,?xxx?0t?0??tt?0?三、（15分） 用分离变量法求解定解问题： ??2u?2u??t2=4?x2,0?x?1,t?0?? ?ux|x?0?0,ux|x?1?0?u|?sin?x,u|?0t?0tt?0??? 四（15分）求解定解问题： ??u?2u2t??x?2t?e，0?x?1，t?0??t?x2?? ?uxx?0?0,ux?1?t??ut?0?0??五、（20分） I 求证F(?)?e???,??0 的Fourier逆变换为f(x)?II用积分变换法求解下列定解问题： 212??e?x24? ； ?ut?a2uxx?f(x,y),(???x???,t?0) ??u(x,0)??(x)六、（15分）I 求证二阶线性微分方程xy''?pxy'?q(x?r)y?0(q?0)都可在适当变量替换下化为Bessel方程。 II 求解xy''?3xy'?4(x?6)y?0的通解。 2222 word.

参考解答： 一、 填空题

1. A 定解 B 初值（或Cauchy问题） C 存在性、唯一性和稳定性 2. D 双曲 3. E (1)(2)(4) 4. F [x-3t,x+t] ,G 决定区域 (2n?1)?x(2n?1)2?2(n?1,2,L)X?cos(n?1,2,L) 5. H ?? I

4L22L2??utt?autt,???x???,t?0二、解：无界区域上波动方程? 的达朗贝尔公式为：

??u|t?0??(x),ut|t?0??(x)u(x,t)??(x?at)2??(x?at)22?1x?at?(?)d? ?x?at2a对于本题所给半无界区域上的自由端点定解问题，只需对初始条件作偶延拓，即令：

?(x)?x2,?(x)?|x|即可，a?2 ,代入达朗贝尔公式得

(x?2t)2?(x?2t)21x?2tu(x)??|?|d?22?2?x?2t ?x2?xt?4t2,x?2t?2??5(x?4t2),x?2t??4二、

解：设u(x,t)?X(x)T(t)，则X(x)T''(t)?4X''(x)T(t)，

?X''(x)??X(x)?0,X'(0)?X'(1)?0T''(t)X''(x)????，则?分离变量成为， 4T(t)X(x)T''(t)?4?T(t)?0?解前一方程，得固有值?n?n2?2(n?0,1,2,L)和固有函数X(x)?cosn?x，

（n?1,2,3,L) 代入方程T''(t)?4?T(t)?0中可得T(t)?Acos2n?t?Bsin2n?t，

由叠加原理，原方程有解u(x,t)??(Acos2n?t?Bnn?1?nsin2n?t)cosn?x。

???sin?x??Ancosn?x?n?0考虑所给初值条件，有：? ，

??0?B2n?cosn?x?n?n?1?word.

0?2?则A0??sin?xdx?，An?2?sin?xcosn?xdx???400??(n2?1)??11n为奇数n为偶数 ，Bn?0

故，原问题的定解为u(x,t)?2???4cos4n?tcos2n?x。 2(4n?1)?n?1??四、解：首先，作变换u(x,t)?v(x,t)?w(x,t)，将边界齐次化，只需令w(x,t)?xt(??1) 原定解问题就可化为

?vt?x??vxx??(??1)tx??2?x2?2t?et?函数v(x,t)的定解问题：?，特别地，当??2时泛定方程可进一步化为

??vx|x?0?0,v|x?1?0,v|t?0?0更简单的形式vt?vxx?et。

然后，对上述方程求由齐次泛定方程导出的方程X''(x)??X(x)?0在边界X'(0)?X(1)?0时的固有值

??(n?)2?2(n?1,2,L)和固有函数X(x)?cos(n?)?x，(n?1,2,L) 利用常数变易法构造满足原泛定方程

?111的解v(x,t)??Tn(t)cos(n?)?x 代入得：?(Tn'(t)?(n?)2?2Tn(t))cos(n?)?x?et。

222n?1n?1?1212?1224(?1)n?1et4(?1)1?T'(t)?(n?)?Tn(t)?cos(n?)?x，可令?n由于1??2(2n?1)?

(2n?1)?2n?1?T(0)?0?n??n?1解得Tn(t)?32(?1)(e?e)， 22(2n?1)?(4?(2n?1)?)32(?1)(e?e)1cos(n?)?x ?22(2n?1)?(4?(2n?1)?)2n?1j?xn?1t1?(n?)2?2t2故原方程的解为：u(x,t)?x2t???n?1t1?(n?)2?2t21五、解：I f(x)?2??????F(?)e1d??2??????e???2ej?x1d??2??????e??(??jx2)2e?x4?2d??e

2???x24?II 对所给初值问题关于变量x作Fourier变换，记U(?,y)?F[u(x,t)]??????u(x,t)e?i?xdx，

word.