高考数学经典常考题型第1专题 命题形式变化及真假判定

第1专题训练 命题形式变化及真假判定

一、基础知识: (一)命题结构变换

1、四类命题间的互化:设原命题为“若p,则q”的形式,则 (1)否命题:“若?p,则?q” (2)逆命题:“若q,则p” (3)逆否命题:“若?q,则?p” 2、p?q,p?q

(1)用“或”字连接的两个命题(或条件),表示两个命题(或条件)中至少有一个成立即可,记为

p?q

(2)用“且”字连接的两个命题(或条件),表示两个命题(或条件)要同时成立,记为p?q 3、命题的否定?p:命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字,对于不同形式的命题也有不同的方法

(1)一些常用词的“否定”:是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多n个→至少n?1个 小于→大于等于 (2)含有逻辑联结词的否定:逻辑联接词对应改变,同时p,q均变为?p,?q:

p或q→?p且?q p且q→?p或?q

(3)全称命题与存在性命题的否定

全称命题:p:?x?M,p?x???p:?x?M,?p(x) 存在性命题:p:?x?M,p?x???p:?x?M,?p(x) 规律为:两变一不变

① 两变:量词对应发生变化(???),条件p?x?要进行否定??p?x? ② 一不变:x所属的原集合M的不变化

(二)命题真假的判断:判断命题真假需要借助所学过的数学知识,但在一组有关系的命题中,真假性也存在一定的关联。

1、四类命题:原命题与逆否命题真假性相同,同理,逆命题与否命题互为逆否命题,所以真假性也相同。而原命题与逆命题,原命题与否命题真假没有关联

2、p?q,p?q,如下列真值表所示:

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假 p或q 真 真 真 假 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p且q 真 假 假 假 简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、?p:与命题p真假相反。 4、全称命题:

真:要证明每一个M中的元素均可使命题成立 假:只需举出一个反例即可 5、存在性命题:

真:只需在M举出一个使命题成立的元素即可 假:要证明M中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题

例1:命题“若方程ax?bx?c?0的两根均大于0,则ac?0”的逆否命题是( ) A. “若ac?0,则方程ax?bx?c?0的两根均大于0” B. “若方程ax?bx?c?0的两根均不大于0,则ac?0” C. “若ac?0,则方程ax?bx?c?0的两根均不大于0” D. “若ac?0,则方程ax?bx?c?0的两根不全大于0”

思路:所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换,“ac?0”的对立面是“ac?0”,“均大于0”的对立面是“不全大于0”(注意不是:都不大于0),再调换顺序即可,D选项正确 答案:D

例2:命题“存在x?Z,x?2x?m?0”的否定是( )

A． 存在x?Z,x?2x?m?0 B．不存在x?Z,x?2x?m?0

22222222

C． 对任意x?Z,x?2x?m?0 D．对任意x?Z,x?2x?m?0

思路:存在性命题的否定:要将量词变为“任意”,语句对应变化

22x2?2x?m?0?x2?2x?m?0,但x所在集合不变。所以变化后的命题为:“对任意

x?Z,x2?2x?m?0”

答案:D

例3:给出下列三个结论

(1)若命题p为假命题,命题?q为假命题,则命题“p?q”为假命题

(2)命题“若xy?0,则x?0或y?0”的否命题为“若xy?0,则x?0或y?0” (3)命题“?x?R,2x?0”的否定是“?x?R,2x?0”,则以上结论正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0

思路:(1)中要判断p?q的真假,则需要判断p,q各自的真值情况,?q为假命题,则q为真命题,所以p,q一假一真,p?q为真命题,(1)错误

(2)“若……,则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定,而(2)中对“x?0或y?0”的否定应该为“x?0且y?0”,所以(2)错误

(3)全称命题的否定,要改变量词和语句,且x的范围不变。而(3)的改写符合要求,所以(3)正确 综上只有(3)是正确的 答案:C

例4 :有下列四个命题

① “若x?y?0,则x,y互为相反数”的逆命题 ② “全等三角形的面积相等”的否命题

③ “若q?1,则x?2x?q?0有实根”的逆否命题 ④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题为( )

A.①② B.②③ C. ①③ D. ③④

思路:①中的逆命题为“若x,y互为相反数,则x?y?0”,为真命题。②中的否命题为“如果两个三角形不是全等三角形,则它们的面积不相等”,为假命题(同底等高即可)。③中若要判

2

断逆否命题的真假,则只需判断原命题即可。q?1时,判别式??4?4q?0,故方程有实根。所以原命题为真命题,进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等,则它为不等边三角形”显然是假命题。综上,①③正确 答案:C

小专题训练有话说:在判断四类命题的真假时,如果在写命题或判断真假上不好处理,则可以考虑其对应的逆否命题,然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解 例5:下列命题中正确的是( )

A. 命题“?x?R,使得x?1?0”的否定是“?x?R,均有x?1?0”

22B. 命题“若x?3,则x?2x?3?0”的否命题是“若x?3,则x?2x?3?0”

22C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”,该命题是假命题 D. 命题“若cosx?cosy,则x?y”的逆否命题是真命题

思路:分别判断4个选项的情况,A选项命题的否定应为“?x?R,均有x?1?0”,B选型否命题的形式是正确的,即条件结论均否定。C选项的命题是正确的,菱形即满足条件,D选项由原命题与逆否命题真假相同,从而可判断原命题的真假,原命题是假的,例如终边相同的角余弦值相同,所以逆否命题也为假命题。D错误 答案:B

例6:如果命题“p且q”是假命题,“?q”也是假命题,则( ) A. 命题“?p或q”是假命题 B. 命题“p或q”是假命题 C. 命题“?p且q”是真命题 D. 命题“p且?q”是真命题

思路:涉及到“或”命题与“且”命题的真假,在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假,再根据真值表进行判断。题目中以?q为入手点,可得q是真命题,而因为p且q是假命题,所以p只能是假命题。进而?p是真命题。由此可判断出各个选项的真假:只有C的判断是正确的 答案:C

22例7:已知命题p:若x?y,则?x??y；命题q:若x?y,则x?y,在命题①p?q；②

2p?q；③p???q?；④ ??p??q中,真命题是( )

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④