2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析

∵AB=AD， ∴BH=BD，

∵AD∥BC，∠ADC=90°， ∴∠BCD=90°， ∴∠BHA=∠BCD=90°， 又∵∠ABH=∠DBC， ∴△ABH∽△DBC， ∴

=

，即AB?BC=BH?DB，

∴AB?BC=BD2， 又∵AB?BC=AC2， ∴BD2=AC2， ∴

=

．

【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．

26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜

）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A

交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．

（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值； （2）如图2，连结CE，当CE=EF时， ①求证：△OCE∽△OEA； ②求点E的坐标；

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（3）当点C在线段OA上运动时，求OE?EF的最大值．

【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；

（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论； ②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；

（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．

【解答】解：∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0）， ∴﹣×4+b=0， ∴b=3，

∴直线l的函数表达式y=﹣x+3， ∴B（0，3）， ∴OA=4，OB=3，

在Rt△AOB中，tan∠BAO=

=；

（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF， ∴∠CDE=∠FDE， ∴∠CDF=2∠CDE， ∵∠OAE=2∠CDE， ∴∠OAE=∠ODF，

∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形， ∴∠OEC=∠ODF， ∴∠OEC=∠OAE， ∵∠COE=∠EOA， ∴△COE∽△EOA， ②过点E⊥OA于M， 由①知，tan∠OAB=，

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设EM=3m，则AM=4m， ∴OM=4﹣4m，AE=5m， ∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴ OC=4﹣5m，

由①知，△COE∽△EOA， ∴

，

∴OE2=OA?OC=4（4﹣5m）=16﹣20m， ∵E（4﹣4m，3m），

∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16， ∴25m2﹣32m+16=16﹣20m， ∴m=0（舍）或m=∴4﹣4m=∴（

，

，3m=），

， ，

（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G， ∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5，

∴AB×OG=OA×OB， ∴OG=∴AG=∴EG=AG﹣AE=连接FH，

∵EH是⊙O直径，

∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO， ∵∠OEG=∠HEF， ∴△OEG∽△HEF，

，

=

×=﹣r，

，

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∴，

﹣r）=﹣2（r﹣）2+

．

，

∴OE?EF=HE?EG=2r（

∴r=时，OE?EF最大值为

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．

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