2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析

【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，

解得：，

则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；

（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，

将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2． 【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．

23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．

【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）

（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．

【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，

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∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD与△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS） （2）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=45°，

由（1）可知：∠A=∠CBE=45°， ∵AD=BF， ∴BE=BF， ∴∠BEF=67.5°

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．

24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；

（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．

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【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．

根据题意，得，解得 x=40．

经检验，x=40是原方程的解．

答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；

=，

（2）甲乙两种商品的销售量为=50．

设甲种商品按原销售单价销售a件，则

（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460， 解得 a≥20．

答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．

【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．

25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求

的值．

【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC?AC、BC2=AB?AC、AC2=AB?BC三种情况分别代入计算可得；

（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC?AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即

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可得；

（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB?BC=BH?DB，即AB?BC=BD2，结合AB?BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案． 【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3， ①当AB2=BC?AC时，得：4=3AC，解得：AC=； ②当BC2=AB?AC时，得：9=2AC，解得：AC=； ③当AC2=AB?BC时，得：AC=6，解得：AC=所以当AC=或或

（负值舍去）；

时，△ABC是比例三角形；

（2）∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠CAD， 又∵∠BAC=∠ADC， ∴△ABC∽△DCA， ∴

=

，即CA2=BC?AD，

∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD， ∴CA2=BC?AB，

∴△ABC是比例三角形；

（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

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