浙江省嘉兴市高三数学一模试卷 Word版含解析

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20．已知函数f（x）=x﹣alnx+b，a，b为实数．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，求a，b的值；

（Ⅱ）若|f′（x）|＜对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（I）根据导数的几何意义可得f′（1）=2，f（1）=5，列方程组解出a，b即可；

（II）分离参数得出x﹣＜a＜x+，分别求出左侧函数的最大值和右侧函数的最小值即可得出a的范围． 【解答】解：（I）f′（x）=1﹣，

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3， ∴f′（1）=2，f（1）=5， ∴

，解得a=﹣1，b=4．

对x∈[2，3]恒成立，即|1﹣|＜

对x∈[2，3]恒成立，

（II）∵|f′（x）|＜

∴|x﹣a|＜对x∈[2，3]恒成立， ∴x﹣＜a＜x+对x∈[2，3]恒成立， 设g（x）=x﹣，h（x）=x+，x∈[2，3]， 则g′（x）=1+

＞0，h′（x）=1﹣

＞0，

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∴g（x）在[2，3]上是增函数，h（x）在[2，3]上是增函数， ∴gmax（x）=g（3）=2，hmin（x）=h（2）=． ∴a的取值范围是[2，]．

21．如图，设斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C：且OA⊥OB．

（Ⅰ）求直线l在y轴上的截距（用k表示）； （Ⅱ）求△AOB面积取最大值时直线l的方程．

+

=1交于A、B两点，

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（Ⅰ）设l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），由OA⊥OB，得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，联立

2

=9，x2+6ktx+3t2，得x2+3（kx+t）即（1+3k2）

﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出直线l在y轴上的截距．

（Ⅱ）设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S=|AB|?d，由此利用点到直线的距离公式和弦长公式能求出△AOB面积取最大值时直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C：∴∠AOB=90°，∴

，

+

=1交于A、B两点，且OA⊥OB，

∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，∴（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，（*）

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联立

，消去y，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，

则

，x1x2=，且△＞0，代入（*）

从而得（1+k2）（3t2﹣9）﹣6k2t2+t2（1+3k2）=0，∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0， ∴

，∴t=±

， 或﹣

．

∴直线l在y轴上的截距为

（Ⅱ）设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S=|AB|?d， 而由（1）知d=

，且|AB|=

===，

∴当

时，

≤，解得k=

或y=

，∴t=

，

，

∴所求直线方程为y=

．

22．已知数列{an}满足：a1=，an=an﹣12+an﹣1（n≥2且n∈N）． （Ⅰ）求a2，a3；并证明：2

﹣≤an≤?3

；

}的前n项和为Bn，证明：

（Ⅱ）设数列{an2}的前n项和为An，数列{=an+1．

【考点】数列递推式；数列的求和．

【分析】（I）分别令n=2，3即可计算a2，a3，配方得an+＞（an﹣1+）2，利用{an+}的增减性得出不等式2

﹣≤an，利用{an}增减性得出an≤?3

；

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（II）分别使用因式分解和裂项法计算An，Bn，即可得出结论． 【解答】解：（I）a2=a12+a1=a3=a22+a2=

=

．

=

，

证明：∵an=an﹣12+an﹣1，

∴an+=an﹣12+an﹣1+=（an﹣1+）2+＞（an﹣1+）2，

∴an+＞（an﹣1+）2＞（an﹣2+）4＞＞（an﹣3+）8＞…＞（a1+）∴an＞2

﹣，

=2

，

又∵an﹣an﹣1=an﹣12＞0，∴an＞an﹣1＞an﹣2＞…＞a1＞1， ∴an2＞an， ∴an=an﹣12+an﹣1＜2a∴an＜2a=2综上，2

＜2?22?（）

， ＜2?22?24=?3

． ．

＜…＜2?22?24?…?2

a1

﹣≤an≤?3

（II）证明：∵an=an﹣12+an﹣1，∴an﹣12=an﹣an﹣1，

∴An=a12+a22+a32+…an2=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an+1﹣an）=an+1﹣， ∵an=an﹣12+an﹣1=an﹣1（an﹣1+1）， ∴∴∴Bn==﹣

． =

=

=， …+

=（

）+（

）+（

﹣

）+…+（

）

，

∴==．

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