浙江省嘉兴市高三数学一模试卷 Word版含解析

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故|f（2x）|+|g（x）|的最小值是1， 故答案为：[，3]，1．

15．动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为 18 （用数字作答）．

【考点】排列、组合的实际应用；棱柱的结构特征． 【分析】根据分步计数和分类计数原理即可求出答案

【解答】解：从A点出发有3种方法，（A1，B，D），假如选择了A1，则有2种选法（B1，D1）到C1，再从C1出发，若选择了（B1，或D1），则只有一种方法到A，若选择了C，则有2种方法到A，

故“最佳路线”的条数为C31C21（1+2）=18种， 故答案为：18

16．已知a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，则2a+b的最小值为 3+2【考点】基本不等式．

b＞0，【分析】由a＞0，且满足3a+b=a2+ab，可得b=2a+b=2a+

=a﹣1+

＞0，解得1＜a＜3．则

．

+3，利用基本不等式的性质即可得出．

＞0，解得1＜a

【解答】解：由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，∴b=＜3． 则2a+b=2a+b=1时取等号． 故答案为：3+2

17．如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足AC上运动，设EP与平面BCD所成角为θ，则sinθ的最大值为 ． =a﹣1+

+3≥2

+3=2

+3，当且仅当a=1+，

=3，点P在棱 ．

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【考点】直线与平面所成的角．

【分析】设棱长为4a，PC=x（0＜x≤4a），则PE=的距离，即可求出结论．

【解答】解：设棱长为4a，PC=x（0＜x≤4a），则PE=设P到平面BCD的距离为h，则

=

，∴h=

x，

．

．求出P到平面BCD

∴sinθ==，

∴x=2a时，sinθ的最大值为故答案为

．

．

三、解答题（共5小题，满分74分）

18．在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A满足2cos2A+cos（2A+

）=﹣．

（Ⅰ）求A的值；

（Ⅱ）若c=3，△ABC的面积为3【考点】余弦定理．

，求a的值．

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【分析】（Ⅰ）由三角恒等变换化简2cos2A+cos（2A+结合A的取值范围，即可求出A的值；

）=﹣，

（Ⅱ）根据△ABC的面积公式求出b的值，再利用余弦定理求出a的值． 【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，2cos2A+cos（2A+∴2?

+cos（2A+

）=﹣，

=﹣，

）=﹣，

即1+cos2A+cos2Acos∴

﹣sin2Asin

sin2A﹣cos2A=，

cos2A=）=

， ；

，

∴sin2A﹣即sin（2A﹣

又△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜∴﹣∴2A﹣解得A=

＜2A﹣=；

，

＜

，

（Ⅱ）c=3，且△ABC的面积为S△ABC=bcsinA=解得b=4； 由余弦定理得

a2=b2+c2﹣2bccosA=42+32﹣2×4×3×=13， 解得a=

．

=3，

19．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC=

，BC=BB1=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．

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【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AC，AA1⊥AC，由此能证明AC⊥平面ABB1A1． （Ⅱ）过点C作CP⊥C1D于P，连接AP，则AC⊥平面DCC1D1，从而∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD中，AB=1，AC=∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥AC， 又∵AA1∩AB=A，AA1，AB?平面ABB1A1， ∴AC⊥平面ABB1A1．

解：（Ⅱ）过点C作CP⊥C1D于P，连接AP， 由（Ⅰ）可知，AC⊥平面DCC1D1， ∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角， ∵CC1=BB1=2，CD=AB=1，∴CP=∴tan

=

，∴cos

=，

． =

，

，BC=2，

∴二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值为

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