2016 - 2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4第2课时正态分布的应用学案

4. 华新机械厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N(4,)，现取1000个零件进行检验，则不属于区间(3，5)这个尺寸范围内的零件大约有_____个?

5. 有210名学生，在一次伦敦奥运会知识竞赛的预赛后，抽取了一个样本如下：

成绩（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数分布 0 0 0 6 15 21 12 3 3

1910 0

（1）求样本的知识竞赛平均成绩和标准差（精确到0.01）； （2）求总体服从正态分布，求正态曲线的近似方程；

（3）若规定，预赛成绩在7.22分或7.22分以上的学生参加复赛，试估计有多少个学生可以进入复赛.

6.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);第二条路较长不拥挤，X服从N(6,0.16).有一天她出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？

参考答案

2．4 第二课时 正态分布的应用

2．基础预探 1.

????a?a??,?(x)dx 2.0.6826 0.9544 0.9974 3. (??3?,??3?)

三、典例导析 例1变式训练 答案：B

解析： 由X服从正态分布N(4,0.5)，由正态分布性质可知，正态分布N(4,0.5)在

22(4?3?0.5,4?3?0.5)之外的取值概率只有0.003，而5.7?(2.5,5.5).这说明在一次试验

中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格. 例2 变式训练

解：由题意?=60，?=8，因为P(????X????)=0.6826, 所以P(52?X?68)?0.6826，

又此正态曲线关于x=60对称，所以P(60?X?68)=1P(52?X?68)?0.3413，

2从而估计在60分到68分之间约3413人. 例3 变式训练

5

解：（1）由题意知X～N(0,1.5),即??0,??1.5， 所以概率密度函数?(x)?11.52?e?x24.52

.

（2）设Y表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为，

P(|X|≤1.5)=P(-1.5

而Y～B(5,0.6826),合格率不小于80％即Y≥5×0.8=4，

4所以P(Y≥4)=P(Y=4)+P(Y=5)=C5?0.68264?(1?0.6826)?0.68265=0.4927.

四、随堂练习 1.答案：C

解析： 因为X~N( 90,100)，所以??90，??10，则??2??70，??2??110，分数在70~110分的考生占总考生数的百分比是95.4%．故选C． 2.答案：C

解析：根据3?原则，在(8-3×0.15,8+3×0.15)即（7.55，8.45）之外时为异常. 3.答案：B

解析：因为u=80，??10，所以A、D正确，根据3?原则知C正确． 4.答案：

1 21． 2解析：?服从正态分布N(3,?2)，曲线关于x?3对称，所以P(??3)?5.答案：③

解析：依据3?原则，阻值应在（985，1015）内，982?（985，1015），所以乙箱电阻不合格.

2

6.解：因为P(??3??Y???3?)?0.9974，又Y～N(1000,30), 所以Y在（910，1090）内取值的概率为99.74％，故最低寿命应控制在910小时以上. 五、课后作业 1.答案：C

2解析：因为X?N(100,15)，所以??100，

?PX(?110)所以P(X?90)?1?P(X?90)?1,故分数在90分以上的志愿者共有

10000-2514=7486.

2. 答案：B

解析：有两个零件尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，不落在区间（27.45－3×0.05，27.453×0.05）内，这些零件是在非正常状态下生产的. 3.答案：0.997

111??,P(1?X?4)?P(2.5?3??X?2.5?3?)，所以P=0.997. 解析：??2.5,2224.答案：3

6

解：因为X?N(4,11??4,??，所以， )23311?X?4?3?)， 33所以P(3?X?5)?P(4?3?所以零件尺寸不属于（3，5）的概率为0.003，

尺寸不属于（3，5）的零件有1000?0.003?3个． 5. 解：（1）x?1(4?6?5?15?6?21?7?12?8?3?9?3)?6， 601?6(4?6)2?15(5?6)2?21(6?6)2?12(7?6)2?3(8?6)2?3(9?6)2??1.5， 60所以S?1.22，故样本的知识竞赛平均成绩为6分，标准差为1.22. S2?S?1.22作为总体知识竞赛平均成绩和标准差的估计值，（2）以x?6，即??6,??1.22，

则总体服从正态分布N?(6,1.222).

(x?6)1?2正态曲线的近似方程为y?e?1.222.

1.222?2（3）易知，P(5.78?X?7.22)?0.6826，

P(X?7.22)?1?P(5.78?X?7.22)1?0.6826??0.1359.

22大约有210×0.1359=28名学生可以参加复赛.

6.解：还有7分钟时，若选第一条线，X服从N(5,1)，能及时到达的概率, P1=P(X≤7)=P(X≤5)+ P(5

21P(??2??X???2?); 2若选第二条线，X服从N(6,0.16)，能及时到达的概率,

P2=P(X≤7)=P(X≤6)+ P(6

22所以P1

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