2016 - 2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4第2课时正态分布的应用学案

2．4 第二课时 正态分布的应用

一、课前准备 1．课时目标

(1) 能熟练的应用正态曲线的特点求概率； (2) 能利用3?原则解决实际问题； 2．基础预探

1．若X～N(?,?2)，则对于任何实数ａ＞0，概率P(??a?X???a)?________即为直线x???a,x???a与正态曲线和ｘ轴所围成的图形的面积. 2.几个特殊结论：

P(????X????)?________，P(??2??X???2?)?————， P(??3??X???3?)?________.

3.由于正态总体几乎总取值于区间__________之内，而在此区间以外的取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(?,?)的随机变量X只取_____________之间的值，并简称之为3?原则.

2二、学习引领

一、小概率事件原理

如果一个事件的发生的概率小于５％，那么这样的事件我们称为小概率事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均试验２０次，才可能发生一次．所以认为在一次试验中，该事件几乎不可能发生的．这里“几乎不可能发生”是针对一次试验说的，如对于一般人来说，发生车祸是一个小概率事件，但是对于整天开车的司机来说，这个事件发生的概率就不同了，因为司机可以看作是大量重复这些试验，使得概率值变大，从而不再是小概率事件．当然，运用小概率事件几乎不可能发生原理进行推断时，我们也有５％犯错误的可能性． 二、3?原则

概率P(??a?X???a)对于固定的?和a而言，该面积随着?的减少而变大.这说明?越小，X落在区间???a,??a?的概率越大，即随机变量在?附近取值的概率很大,在离?很远处取值很小.随机变量X的

取值落在区间(???,???)上的概率值约为68.3%,落在区间(??2?,??2?)上的概率值约为95.4%,落在区间(??3?,??3?)上的概率值约为99.7% .容易得出，它在

(??3?,??3?)之外取值的概率是0.3%.就是在大量重复实验中，平均抽取1000个落在这

1

个区间外的零件仅有3个，我们可以认为个体在区间(??3?,??3?)之外的事几乎不可能发生的。如果发生，说明这是个体不再服从正态分布，就是生产发生了异常. 三、典例导析

题型一 3?原则的应用

例1 某砖瓦厂响应国家“建设绿色环保中国”号召，利用城市某种废弃物生产新型节能砖，

2

其“抗断强度”X服从正态分布N(30，0.8)．质检人员从该厂某天生产的1000块砖中随

2

机地抽查一块，测得它的抗断强度为27.5公斤／厘米，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格？

思路导析：要知道这批砖是否合格，只需检查抽取的砖是否在3?的区间内.

2

解：由X～N(30，0.8)可知X在（30-3×0.8，30+3×0.8）即（27.6，32.4）之外取值的概率只有0.0026.

而27.5?（27.6，32.4），说明在一次试验中出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批砖不合格.

方法规律：本题是正态分布假设检验应用的一个实例，依据的准则是正态总体在区间

(??3?,??3?)之外取值的概率仅有0.3%，这一小概率事件几乎不可能发生来检验个别

零件是在非正常状态下生产的．

变式训练：某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的100件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7ｃｍ，则（ ）. A．该厂生产的这批零件合格. B．该厂生产的这批零件不合格. C．该厂生产的这批零件50%合格. D．无法判断.

题型二 应用3?原则的求值

例2 设在一次满分150分数学考试中，某班学生的分数服从?~N(110,202)，这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数.

???130)思路导析：P(90???150)和P(130???150)的概率值可由P(90即P(110?20???110?20)?0.6826通过对称得到，再乘以总人数即可得到在此范围内的

人数.

2解：因为?~N(110,20)，所以??110,??20，P(110?20???110?20)?0.6826.

1(1?0.6826)?0.1587. 2所以130分以上的人数为54?0.1587?9人.

所以??130的概率为

??90的概率为0.6826＋0.1587＝0.8413.

2

所以及格的人数为54?0.8413?45人.

归纳总结：本题充分利用在区间(???,???)上的概率值约为68.3%，通过构造得到题中需要的概率值，从而将问题解决。注意熟练记忆3?原则的三个概率值的结论. 变式训练：已知某地区计算机达标考试的成绩X～N(60,8)（单位：分），此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约多少人？

题型三 正态分布与二项分布的综合应用

例3 已知测量误差??N(7.5,102)（单位：cm），问必须进行多少次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 cm的概率大于0.9？

思路分析：由于每一次测量的结果只有绝对误差超过10ｃｍ和不超过10ｃｍ两种结果，所以独立重复测量的结果服从二项分布，所以可利用二项分布的相关知识解决.

解：设?表示N次测量中绝对误差不超过10 cm的次数，因为?服从二项分布，即

2

??B(n,p).

其中p?P(|?|?10)?0.5586,

又因为P(??1)?1?P(??0)?1?(0.4414)n?0.9, 解得???1?2.815.

lg0.4414所以至少了三次测量才能使有一次测量的绝对误差不超过10 cm的概率大于0.9. 规律总结：以正态分布为基础，综合二项分布的问题难度较大，处理时注意分清何时利用正态分布，何时利用二项分布.

变式训练：生产工艺工程中产品的尺寸误差X(mm)～N(0,1.5),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5mm为合格品，求（1）X的概率密度函数；（2）生产的5件产品的合格率不小于80％的概率.

四、随堂练习

1.某市中考语文考试的考生分数X~N(90,100)，则分数在70~110分的考生占总考生数的百分比是( ).

A．31.7% B．68.3% C．95.4% D．99.7%

2.某厂生产的零件外直径X～N(8.0，0.15),单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为（ ）. A.上、 下午生产情况均为正常. B.上、 下午生产情况均为异常.

C.上午生产情况正常，下午生产情况异常. D.上午生产情况异常，下午生产情况正常.

2

2

3

3.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为

f(x)?

12??10e?(x?80)2200(x?R)，则下列命题不正确的是（ ）.

A．该市这次考试的数学平均成绩为80分；

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同； C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同； D．该市这次考试的数学成绩标准差为10.

4. 已知随机变量?服从正态分布N(3,?2),则P(??3)? . 5.一批电阻的阻值X服从正态分布N(1000,52)(单位?).今从甲乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011?和982?，可以认为 .(填写正确序号). ①甲乙两箱电阻均可出厂； ②甲乙两箱电阻均不可出厂；

③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂； ④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂.

6.某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命（使用时间：小时）为随机变量Y，已知Y～

2

N(1000,30),要使灯管的平均寿命为1000小时的概率为99.74％，问灯管的最低寿命应控制在多少小时以上？

五、课后作业

1.在一次环境保护知识测试中(满分为150分)中,某地区10000名志愿者的分数X服从正态分布N(100,15),据统计,分数在110分以上的考生共有2514人,则分数在90分以上的志愿者的人数为（ ）.

A.2514 B. 5028 C. 7486 D.8642

2. 已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.05)，质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到他们的尺寸如下：27.3 27.49 27.55 27.23 27.40 27.46 27.38 27.58 27.54 27.68，请你根据正态分布的3σ原则，帮助质量检验员确定（ ）. A.生产情况正常 B.生产情况异常

C.部分零件生产正常，部分零件生产异常 D.偶尔异常，大部分时间正常

3. 若正态总体的概率密度函数为f(x)?内取值的概率为 .

222?e?2(x?2.5)(x?R)，则正态总体在区间（1，4）

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