北京市石景山区2019—2020学年第一学期初三期末试卷数学（含答案及评分标准）

则 m 的 值为 ， ．

n的最大值为

三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27-28

题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程

．

0

17．计算： 27 tan45° 4sin 60° ( 2 2020) ．

2

18．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数

y x

（点

2x 3 的图象与 x轴交于点 A，B

A在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，顶点为 P .

（1）直接写出点 A， C ，P 的坐标； （2）画出这个函数的图象 .

19．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程

已知：如图 1，⊙O 及⊙ O 上一点 P． 求作：直线 PQ ，使得 PQ 与⊙ O 相切．

O

.

P

作法：如图 2，

①连接 PO 并延长交 ⊙ O 于点 A；

图 1

②在⊙O 上任取一点 B（点 P， A除外），以点 B 为圆心，

BP长为半径作 ⊙ B，与射线 PO 的另一个交点为 C ；

③连接 CB 并延长交 ⊙ B于点 Q ；

P

④ 作直线 PQ ．

所以直线 PQ 就是所求作的直线．

B

O

根据小石设计的尺规作图的过程，

A （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．

图 2 证明：∵ CQ 是⊙ B的直径，

∴ CPQ ∴OP

°（ ）（填推理的依据） .

PQ .

又∵ OP 是⊙ O 的半径， ∴ PQ 是⊙ O 的切线（

）（填推理的依据） .

20．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线

4

是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处 运行的水平距离为

A距离地面的高度是

B

8

米，当铅球

5

3 米时，达到最大高度

A

5

米的 B 处．小丁此次投掷的成绩是多少米？ 2

5 个元素中，已知 2 个元素（其中至少有 1 个是边），

21. 在直角三角形中，除直角外的

就可以求出其余的 3 个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以 求出其余的未知元素呢 ? 思考并解答下列问题：

（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的

序号是

37°

83°

7

37°

37°

60°

12

60°

37°

60°

．

10

① ② ③ ④

（2）如图⑤，在 △ABC 中，已知 A 37°， AB 12 ， AC 10 ，能否求出 BC 的

.

长度？如果能，请求出 BC 的长度；如果不能，请说明理由

（参考数据： sin37 ° 0.60 ，cos37° 0.80 ， tan37° 0.75 ）

C

A B

⑤

m

22．在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 函 数 y

) (x 0) 的 图 象 G 经 过 点 A ( 3, 2，

x

直线 l : y kx 1( k 0) 与 y 轴交于点 B ，与图象 G 交于点 C ． （1）求 m 的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象

段 BA， BC 围成的区域（不含边界）为

G 在点 A，C 之间的部分与线 W ．

①当直线 l 过点 (2,0) 时，直接写出区域 W 内的整点个数；

②若区域 W 内的整点不．少．于．4个，结合函数图象，求 k 的取值范围．

23. 如图， B是⊙ O 的半径 OA 上的一点 （不与端点重合） ，过点 B作 OA 的垂线交⊙ O

于点 C ， D，连接 OD . E 是⊙ O 上一点， CE CA ，过点 C 作⊙ O 的切线 l ，连

5

接 OE 并延长交直线l 于点 F . （ 1）①依题意补全图 ；形

D

②求证： OFC ODC ；

O

B

（ 2）连接 FB ，若 B是 OA 的中点，

E

A

⊙ O 的半径是 4，求 FB 的长 .

24．某地质量监管部门对辖区内的甲、

产的某同类产品进行检 ，查

乙两家企业生

C

l

分别随机抽取了 50 件产品并对某一项关键质量指标做检

测，获得了它们的质量指标值 和分析 . 下面给出了部分信息.

s ,并对样本数据（质量指标值 s ）进行了整理、描述

a. 该质量指标值对应的产品等级如下：

质量指标值

等级

20≤ s 25 次品

25≤ s 30 二等品

30≤ s 35 一等品

35≤ s 40 二等品

40≤ s≤ 45

次品

说明： 等级是一等品 , 二等品为质量合格( 其中等级是一等品为质量优秀 );

等级是次品为质量不合格.

b. 甲企业样本数据的频数分布统计表如下（不完整） c. 乙企业样本数据的频数分布直方图如下：

甲企业样本数据的频数分布表

分组频数 30 20≤ s 25 25≤ s 30

频率

2

0.04

25

频数

：

乙企业样本数据的频数分布直方图

35

35

m

32

30≤ s 35 35≤ s 40 40≤ s≤ 45

合计

n

0.12

20

15 10

0 50

0.00 1.00

5

7

5

0

20 25 30

1

2

35 40 45

质量指标值

d. 两企业样本数据的平均数、中位数、众数、极差、方差如下：

平均数

甲企业 乙企业

中位数

众数

极差

方差

31.92 31.92

32.5 31.5

6

34 31

15 20

11.87 15.34

根据以上信息，回答下列问题： （1） m 的值为

， n的值为

；

；

万件；

（2）若从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率为

若乙企业生产的某批产品共 （3）根据图表数据，你认为

5 万件，估计质量优秀的有

企业生产的产品质量较好，理由为 . （从某个角度说明推断的合理性）

25．如图， C 是 AmB 上的一定点， D 是弦 AB上的一定点， P是弦 CB 上的一动点，连

接 DP ，将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°得到线段 PD ，射线 PD 与 AmB 交于 点Q ．已知 BC 6cm ，设 P ，C 两点间的距离为 xcm ，P ，D 两点间的距离为 y1 cm ，

P ，Q 两点间的距离为 y2 cm ．

m

C

P

Q D'

A

小石根据学习函数的经验，分别对函数

B

D

y ， y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行

1

2

了探究， 下面是小石的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量 x的值进行取点、画图、测量，分别得到了

组对应值：

y ， y2 与 x 的几

1

x / cm y1 / cm y2 / cm

0 4.29 0.88

1 3.33 2.84

2 3 1.65

4 1.22 4.17

5 1.50 3.20

6 2.24 0.98 (x, y ) ，

1

3.57 4.04

（2）在同一平面直角坐标系 xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点

( x, y ) ，并画出函数 y1 ， y2 的图象；

2

7