八年级（下）第一次月考数学试卷

【解答】如图，延长AD、BC交于E． ∵∠B=90°，∠A=60°， ∴∠E=90°﹣60°=30°，

在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB=2，CD=1， ∴AE=2AB=2×4，CE=2CD=2×1=2， 由勾股定理得，BE=DE=

=

， ×2﹣×

×1， =2

，

∴S四边形ABCD=×2=2=

﹣．

，

【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质以及三角形的面积公式运用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 五．解答题

25．如图：在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF． （1）若设BE=a，CF=b，满足

+|b﹣5|=

+

，求BE及CF的长．

（2）求证：BE2+CF2=EF2．

（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．

【考点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；二次根式有意义的条件；等腰直角三角形．

【分析】（1）先根据二次根式的非负性求出m=2，再由非负数的性质求出a、b的值，进而得到BE及CF的长；

（2）延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，利用SAS得到三角形BED与三角形CPD全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=CP，再利用SAS得到△EDF和△PDF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=FP，利用等角的余角相等得到∠FCP为直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；

（3）连接AD，由AB=AC，且D为BC的中点，利用三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到一对角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AD=CD，利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=CF=5，DE=DF，由AE+EB求出AB的长，即为AC的长，再由AC﹣CF求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的长，再根据三角形DEF为等腰直角三角形求出DE与DF的长，即可确定出三角形DEF的面积．

，

【解答】（1）解：由题意得解得m=2， 则

+|b﹣5|=0，

所以a﹣12=0，b﹣5=0， a=12，b=5， 即BE=12，CF=5；

（2）证明：延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP， 在△BED和△CPD中，

，

∴△BED≌△CPD（SAS）， ∴BE=CP，∠B=∠CDP， 在△EDF和△PDF中，

，

∴△EDF≌△PDF（SAS）， ∴EF=FP，

∵∠B=∠DCP，∠A=90°， ∴∠B+∠ACB=90°，

∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，

在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2=PF2， ∵BE=CP，PF=EF， ∴BE2+CF2=EF2；

（3）解：连接AD，

∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点， ∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC， ∵ED⊥FD，

∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°， ∴∠EDA=∠FDC，

在△AED和△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF=5，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形， ∴AB=AE+EB=5+12=17，

∴AF=AC﹣FC=AB﹣CF=17﹣5=12，

在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF=设DE=DF=x，

， =

．

=13，

根据勾股定理得：x2+x2=132， 解得：x=

，即DE=DF=

×

则S△DEF=DEDF=×

【点评】此题考查了非负数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

26．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边AC与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边AC恰好重合．已知AB=2

，P是AC上的一个动点．

（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长； （2）当点PD=BC时，求此时∠PDA的度数；

（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点构成平行四边形的顶点Q恰好在BC边上，求出此时?DPBQ的面积．

【考点】勾股定理；平行四边形的性质．

AC的长．DF=FA=FC；【分析】（1）作DF⊥AC于F，由AB的长求得BC、在等腰Rt△DAC中，在Rt△BCP中，求得PC的长．则由勾股定理即可求得DP的长．