2012高考湖南理科数学试题及答案（高清版）

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学理工农医类(湖南卷)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2

1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x≤x}，则M∩N等于( ) A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}

2．命题“若??A．若??π4π4，则tanα＝1”的逆否命题是( )

π4，则tanα≠1 B．若??π4，则tanα≠1

π4C．若tanα≠1，则?? D．若tanα≠1，则??

3．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )

4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x，y)(i＝1，2，?，n)，用最小二乘法建立的回归方程为?y?0.85x?85.71，则

i

i

下列结论中不正确的是( )

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心(x,y)

C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 5．已知双曲线C：为( )

A．C．

xx22xa22?yb22?1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程

202??yy52?1 B．?1 D．

xx252?yy2202?1

??1 2080π6．函数f(x)＝sinx－cos(x＋)的值域为( )

68020A．[－2,2] B．[?C．[－1,1] D．[?3,3]

32,32]

????????7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB?BC?1，则BC等于( )

A．3 B．7 C．22 D．23

8．已知两条直线l1：y＝m和l2：y?82m?1ba(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至

右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，

的最小值为( )

A．162 B．82 C．834 D．434 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)

?x?t?1，?x?asin?，9．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：?(t为参数)与曲线C2：(θ?y?1?2ty?3cos???为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.

10．不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为__________________．

11．如图，过点P的直线与O相交于A，B两点，若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则的半径等于________．

O

(二)必做题(12～16题)

2

12．已知复数z＝(3＋i)(i为虚数单位)，则|z|＝________.

1613． (2x?)的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)

x14．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝________.

理图 文图

15．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．

(1)若??π6，点P的坐标为(0，

332)，则ω＝________；

(2)若在曲线段?ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．

16．设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，?，xN依次放入编号为1,2，?，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2?xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前

N2和后

N2N2个位置，得到排列P1＝x1x3?xN－1x2x4?xN，将此操作称为C个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将

变换．将P1分成两段，每段Pi分成2i段，每段

N2i个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，当N＝8时，P2＝

x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．

(1)当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；

n

(2)当N＝2(n≥8)时，x173位于P4中的第________个位置．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示． 一次购 1至45至89至 13至 17件 物量 件 件 12件 16件 及以上 顾客 x 30 25 y 10 数(人) 结算时间 1 1.5 2 2.5 3 (分钟/人) 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；

(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．

18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

(1)证明：CD⊥平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．

19．已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋?＋an，B(n)＝a2＋a3＋?＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋?＋an＋2，n＝1,2，?.

(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式；

(2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．

20．某企业接到生产3 000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正整数)．

(1)设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间； (2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

22

21．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)＋y＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．

(1)求曲线C1的方程；

(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

22．已知函数f(x)＝eax－x，其中a≠0.

(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；

(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k.问：是否存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．

1． B 由N＝{x|x≤x}，得x－x≤0?x(x－1)≤0， 解得0≤x≤1.又∵M＝{－1,0,1}， ∴M∩N＝{0,1}．

2

2

2． C 命题“若??π4，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则??π4”．

3． D 若为D项，则主视图如图所示，故不可能是D项．

4． D D项中，若该大学某女生身高为170 cm，则其体重约为：0.85×170－85.71＝ 58．79(kg)．故D项不正确． 5． A 由2c＝10，得c＝5， ∵点P(2,1)在直线y?∴1?2ba2

2

bax上，

2

2

.又∵a＋b＝25，∴a＝20，b＝5.

x2故C的方程为

20?y25?1.

π66． B f(x)＝sinx－cos(x＋＝sinx?(

32cosx?12)

sinx)