第21章一元二次方程全章导学案（共10份）

21.1一元二次方程

【学习目标】

1．理解一元二次方程的概念；

2．知道一元二次方程的一般形式,会把一个一元二次方程化为一般形式； 3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

【学习重点】一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念. 【学习难点】在实际问题中建立一元二次方程的数学模型. 【学习过程】

一、课前导学：学生自学课本25-27页内容，并完成下列问题

1． 问题1：“六一”节，八（2）班的每个同学向班上的每个小朋友发了一条祝福短信，

共发短信3306条，八（2）班有多少人？

设八（2）班有x人，可列方程为___________ ．

2．问题2：一个直角三角形的斜边长为10cm，两条直角边相差2cm,求较长的直角边. 设较长的直角边为xcm, 可列方程为___________ . ． 3．观察上面所列出的两个方程：（1）方程的两边都是 ； （2）方程中含有 个未知数，（3）含有未知数的项的最高次数是 . 你能类比一元一次方程给上面两个方程命名吗？ 4．一元二次方程的定义

只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是________的 方程叫做一元二次方程.

5．一元二次方程的一般形式： ， 其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数.

6．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为

_________．

1

5=0 x

8．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 9．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________. 二、合作、交流、展示：

1．一元二次方程的一般形式： . 一元二次方程的特殊形式有 . 2．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

【变式】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

3．例2:一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？ 分析：设苗圃的宽为xm，则长为 m. 根据题意，列方程为 ， 整理，得 .

(1)下面哪些数是上述方程的根？ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10

【知识链接】使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

(2)本题列出的方程还有其它解吗？

【思考】一元二次方程的解与一元一次方程的解的区别？ 三、巩固与应用：

1．判断下列方程是否为一元二次方程：

(1)1-x2=0 (2)2(x2-1)=3y (3)2x2-3x-1=0 (4)

12?=0 2xx (5)(x+3)2=(x-3)2(6)9x2=5-4x

2．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

2

（1）3x－x=2； （2）7x－3=2x;

（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4. 3．要使(k?1)xk?122

?(k?1)x?2?0是一元二次方程，则k=_______.

4．已知关于x的一元二次方程(m?2)x2?3x?m2?4?0有一个解是0，求m的值. 四、小结： 1. 一元二次方程的有关概念；

2．能熟练把一个一元二次方程化为一般形式；

3．准确说出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 五、作业：必做：P28练习T1、4、5.

22..2.1一元二次方程的解法—直接开平方法

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【学习目标】

1．会用直接开平方法解形如x2?p或(mx?n)2?p（p≥0）的方程. 2．经历直接开平方法的探究过程，领会转化、降次思想.

【学习重点】会用直接开平方法解形如x2?p或(mx?n)2?p（p≥0）的方程. 【学习难点】领会降次──转化的数学思想. 【学习过程】

一、课前导学：学生自学课本30-31页内容，并完成下列问题 1．【知识回顾】

平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这就是说，如果x?a，那么x 叫做a的平方根，记为x= .

完全平方公式：a?2ab?b? ，a?2ab?b? . 2．利用平方根的定义解下列方程：

（1）x?9 （2） 2x?8?0

（3）(x?1)2?16 （4）(2x?1)2?25

【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程． 即如果方程能化成

2222222x2?p或(mx?n)2?p(p?0)的形式，那么可得x??p或

2mx?n??p．

3．思考：如何解方程x?6x?9?2

二、合作、交流、展示：

1．直接开平方法： 如果方程能化成x?p或(mx?n)?p(p?0)的形式，

4

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