一轮复习：导数知识点

1．平均变化率

一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商 ，称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率． 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝xΔy0处的瞬时变化率Δlimx→0

Δx＝ 为函数y＝f(x)在x＝xΔy0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝Δlimx→0 Δx＝ . (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是在曲线y＝f(x)上点 处的 ．相应地，切线方程为 3．函数f(x)的导函数

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x) ．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为 或y′(或y′x)． 4．基本初等函数的导数公式表

y＝f(x) y′＝f′(x) y＝c y＝xn ， y＝1x y＝ax(a>0，a≠1) y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝sin x y＝cos x y＝ln x y＝ex 5.导数的四则运算法则 设f(x)，g(x)是可导的，则

(1)(f(x)±g(x))′＝ ；(c±g(x))′＝ ； (2)[f(x)g(x)]′＝ ；(cg(x))′＝ ； (3)[

f(x)g(x)]′＝ (g(x)≠0)．[1

f(x)

]′＝ (f(x)≠0)． 6．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积． 【知识拓展】

1．奇函数的导数是 ，偶函数的导数是 ，周期函数的导数还是 ． 2．[

cf?x?]′＝ (f(x)≠0)． 3．[af(x)＋bg(x)]′＝ ．

4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

【知识拓展】

1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的 条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有 ( )且f′

1．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) (x)在(a，b)上的任何子区间内 ．

3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的 条件．

0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值

(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

①如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①求导数f′(x)；

②求方程 的所有实数根；

③考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是 ；如果由负变正，则f(x0)是 ． 3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上 的函数f(x)在[a，b]上必有 与 ．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内所有使 的点；

②计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和 的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

1．定积分的概念

函数f(x)在区间[a，b]上的定积分可记作?baf(x)dx，其中f(x)叫做 ，a叫 ，b叫 ，f(x)dx叫做 ． 2．定积分的性质

(1)?bacf(x)dx＝ (c为常数)．

(2)设f(x)，g(x)可积，则?ba[f(x)＋g(x)]dx＝ . 3．微积分基本定理

如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则?baf(x)dx＝ ．其中F(x)叫做f(x)的一个 ． 【知识拓展】

1．定积分应用的常用结论

当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为 ；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为 ；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为 ． 2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则?a－af(x)dx＝ (2)若f(x)为奇函数，则?a－af(x)dx＝ .