2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：51直线与圆、圆与圆的位置关系含解析

课时作业51 直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题

1．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则ax＋by＝r2与C的位置关系是( D )

A．相切 C．内含

B．相离 D．相交

2r

解析：由已知a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝22，则d

a＋b

故直线ax＋by＝r2与C的位置关系是相交．

2．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有( A )

A．1条 C．3条

36，则两圆圆心距|C1C2|＝

?7－3?2＋[1－?－2?]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.

3．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( B ) A．2x＋y－5＝0 C．x－2y－5＝0 ＝5，

则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.故选B. 4．已知圆心(a，b)(a<0，b<0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( B )

A．(x＋3)2＋(y＋5)2＝25 B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝9

B．2条 D．4条

解析：两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝

B．2x＋y－7＝0 D．x－2y－7＝0

解析：由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2

2?2?7?249??C.x－3?＋?y－3?＝9 ????2?2?7?249?????x＋D.3?＋?y＋3?＝9 ?

解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， r＝|b|，??

则?b＝2a＋1，??r2＝|a|2＋?5?2，

a＝－2，??

解得?b＝－3，

??r＝3，

所以圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝9.故选B.

5．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－3＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为( B )

A．25 C．85

B．45 D．20

解析：因为C1(－2,2)，r1＝11，C2(2,0)，r2＝4，所以|C1C2|＝?－2－2?2＋22＝25.1

易知当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值Smax＝2×25×4＝45.

6．已知点M在直线x＋y＋a＝0上，过点M引圆O：x2＋y2＝2的切线，若切线长的最小值为22，则实数a的值为( D )

A．±22 C．±4

B．±3 D．±25

|a|

解析：设圆心O到直线x＋y＋a＝0的距离为d，则d＝，又过点M引圆x2＋y2

2a2

＝2的切线，切线长的最小值为22，则2＋(22)＝2，解得a＝±25，故选D.

2

7．(2019·洛阳二模)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为( D )

1

A.2 C.2－1

B．1 D．2－2

解析：方法1：由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设P(cosα，sinα)，则A(cosα，2－cosα)，

∴|PA|＝|2－cosα－sinα|

π

＝|2－2sin(α＋4)|，

∴|PA|的最小值为2－2，故选D.

方法2：由题意可知圆心(0,0)到直线x＋y＝2的距离d＝

2

＝2，∴圆C上一点到2

直线x＋y＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|PA|min＝2(2－1)＝2－2，故选D.

二、填空题

8．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦的长度为25.

解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x＋y－15＝0，原点到该直线的距离为d＝

|－15|

＝35， 22＋1

则公共弦的长度为2r2－d2＝250－?35?2＝25.

︵

9．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的

中点为M，则过点M的圆C的切线方程是x－y＋2－2＝0.

解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧AB的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为

?2222?

2，所以|OM|＝2－1，所以M?－1，1－?，所以切线方程为y－1＋2＝x－2＋

2??2

︵

1，

整理得x－y＋2－2＝0.

10．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是x＋y－3＝0.

解析：由题意知，当∠ACB最小时，圆心C(3,4)到直线l的距离达到最大，此时直4－2－1

线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为＝1，所以直线l的斜率为1＝－1，因

3－1此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

11．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为[1,5]．

解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，MB2MA＝＝sin30°＝4.设A(x,6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x

sin∠BAM

＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1,5]．

三、解答题

12．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上． (1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)， |a－2a－1|则?a－2?＋?－2a＋1?＝.

2

22化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1. ∴C(1，－2)，半径r＝|AC| ＝?1－2?2＋?－2＋1?2＝2. ∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得3＝－4，

3

∴直线l的方程为y＝－4x， 即3x＋4y＝0.

综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.

13．(2019·河南安阳一模)已知AB为圆C：x2＋y2－2y＝0的直径，点P为直线y＝x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为6.

解析：圆心C(0,1)，设∠PCA＝α，|PC|＝m，则|PA|2＝m2＋1－2mcosα，|PB|2＝m2

＋1－2mcos(π－α)＝m2＋1＋2mcosα，∴|PA|2＋|PB|2＝2m2＋2.又C到直线y＝x－1的距|0－1－1|离为d＝＝2，即m的最小值为2，∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×(2)2＋2＝

26.

14．(2019·江苏南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x

|k＋2|

2＝1，解得k1＋k