2020高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.1 不等式的性质活页作业1 北师大版选修4-5

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活页作业(一) 不等式的性质

一、选择题

1．若2－m与|m|－3异号，则实数m的取值范围是( ) A．(3，＋∞) C．(2,3)

B．(－3,3)

D．(－3,2)∪(3，＋∞)

解析：法一 因为2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－ 3)＜0，即(m－2)(|m|－3)＞0.

??m≥0，所以?

?m－2?

m－3＞0

??m＜0，

或?

?m－2?

－m－3＞0.

解得

m＞3或0≤m＜2或－3＜m＜0.

法二 取m＝4符合题意，排除B，C两项；取m＝0可排除A项． 答案：D

2．给出下列命题：

11

①若a＞b且a，b同号，则＜；

ab1

②若＞1，则0＜a＜1；

a③a≥b且ac≥bc?c≥0； ④若a＞b，n∈N＋?a2n－1

＞b2n－1

.

其中真命题个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

解析：①正确．因为ab＞0，a＞b，所以＞，即 11＞.

abababba②显然成立．

③错误．因为ac≥bc，即(a－b)c≥0， 而a≥b，当a＝b时，c∈R.

④正确．因为n∈N＋，2n－1为奇数，条件可放宽， 即a＞b，则得a答案：C

3．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论： ①＞；②a＜b；③logb(a－c)＞loga(b－c)．

2n－1

＞b2n－1

.

ccabcc 2020

其中，正确结论的序号是( ) A．① C．②③

B．①② D．①②③

11cc解析：由a＞b＞1，c＜0，得＜，＞.

ababc由幂函数y＝x(c＜0)是减函数，得a＜b. 因为a－c＞b－c，

所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)． 故①②③均正确． 答案：D

4．若a＜0，－1＜b＜0，则有( ) A．a＞ab＞ab C．ab＞a＞ab

解析：∵a＜0，－1＜b＜0，

∴ab＞0，b－1＜0,1－b＞0,0＜b＜1. ∴1－b＞0，ab－a＝a(b－1)＞0.∴ab＞a. ∵ab－ab＝ab(1－b)＞0，∴ab＞ab. ∵a－ab＝a(1－b)＜0，∴a＜ab. 故ab＞ab＞a. 答案：D 二、填空题

5．把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是________. ①如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d； ②如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd； ③如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么＝； ④如果a＝b，那么a＝b.

解析：因为幂函数y＝x在R上是增加的，所以④成立． 答案：④

6．lg(x＋1)与lg x(x＞0)的大小关系是________.

2

33

3

22

2

2

2

2

2

2

22

ccB．ab＞ab＞a D．ab＞ab＞a

2

2

abcdx2＋1?1?解析：lg(x＋1)－lg x＝lg＝lg?x＋?. x?x?

2

1

∵x＞0，∴x＋≥2＞1.

x?1?2

∴lg?x＋?＞0，即lg(x＋1)＞lg x.

?

x?

答案：lg(x＋1)＞lg x

2

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三、解答题

11

7．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y.

ab求证：

xx＋ay＋b＞

y.

11

证明：因为a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y，

ab所以＞.所以＜. 故＋1＜＋1，即0＜所以

xyababxyaxbyx＋ay＋b＜. xyxx＋ay＋b＞

y.

8．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？

1n解：设窗户面积为n，地板面积为m，则≤＜1.

10m设增加的窗户面积和地板面积均为t， 由＜1.得m＞n. ∴mt＞nt.

∴mt＋mn＞nt＋mn，即m(n＋t)＞n(m＋t)． ∴

nmn＋tn＞，即采光条件变好了． m＋tm

一、选择题

1．若a＞b＞0，则下列不等式恒成立的是( ) 2a＋baA．＞ a＋2bb11C．a＋＞b＋ b2＋1b2B．2＞2 a＋1aD．a＞b

abab2a＋b5a解析：选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2.由此可知选项A不成立．由不等式的基本

a＋2b4b1111ab性质，可知当a＞b＞0时，＜.由此可知选项C不恒成立．取a＝，b＝，则a＞b＞0，但a＝b.故选项D

ab24不恒成立．

答案：B

2．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )

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A．xy＞yz C．xy＞xz

B．xz＞yz D．x|y|＞z|y|

??x＞0，

解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0.所以x＞0，z＜0.由?

?y＞z，?

可得xy＞xz.

答案：C 二、填空题

π

3．若0＜x＜，则2x与3sin x的大小关系是否确定？________(选填“是”或“否”)．

2解析：令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.

222π

当cos x＜时，f′(x)＞0；当cos x＝时，f′(x)＝0；当cos x＞时，f′(x)＜0.所以当0＜x＜时，

3332

?π?函数f(x)先减后增．而f(0)＝0，f??＝π－3＞0，故函数f(x)

?2?

的值与0的关系与x取值有关，即2x与3sin x的大小关系不确定． 答案：否

xx2

4．已知1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，则lg的取值范围是________.

yy解析：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，得1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2.

xyx213

而lg＝2lg x－lg y＝(lg x＋lg y)＋(lg x－lg y)，

y22x2

所以－1≤lg≤5.

y答案：[－1,5] 三、解答题

5．已知m∈R，a＞b＞1，函数f(x)＝解：f(a)－f(b)＝∵a＞b＞1，

∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0.

∴当m＞0时，f(a)－f(b)＜0，即f(a)＜f(b)； 当m＝0时，f(a)＝f(b)；

当m＜0时，f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)．

6．实数x，y，z满足x－2x＋y＝z－1且x＋y＋1＝0，试比较x，y，z的大小． 解：由x－2x＋y＝z－1，得z－y＝(x－1)≥0，即

2

2

2

2

mxx－1

，试比较f(a)与f(b)的大小．

mambmb－a－＝. a－1b－1a－1b－1

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z≥y.由x＋y2＋1＝0，得y－x＝y2＋y＋1＝?y＋?2＋＞0，即y＞x.故z≥y＞x.

2

??

1?

?

34