个位是5的两位数的平方规律

个位是5的两位数的平方规律

首先，我们来看下面一组等式：

同学们，从这组式子出发，不用计算，你能得出55×55 、65×65、75×75、85×85……的值么？

下面我们来研究一下这组式子的规律：

1）总的特征：①因数都是相同的两位数，两位数的个位都是5； ②计算结果的末两位都是25。

2）为了进一步研究因数和乘积的关系，我们来看看因数的十位和结果之间的关系。

因数的十位 乘积的前几位 乘积的末两位 1 2 25 2 6 25 3 12 25 4 20 25 …… …… ……

那么，请思考：这里的1、2、3、4和乘积的2、6、12、20之间有什么关系呢？ 经过思考，你应该能够发现：

现在请大家先列竖式计算一下，55×55的结果是多少？（3025）同样有，30=5×6。于是我们可以很快的写出：65×65=4225、75×75=5625、85×85=7225……

真的是这样吗？道理何在呢？下面从两个思路来解释这个问题。

因数的十位 乘积的前几位 关系 1 2 2=1×2 2 6 6=2×3 3 12 12=3×4 4 20 20=4×5 …… …… …… 15×15 = 225 25×25 = 625 35×35 = 1225 45×45 = 2025 …… 思路（一）：令a5表示个位是5的自然数，其中a是任意自然数，a的个位位于a5的十位处。也就是说：a5?a?10?5。于是有：

a5?a5?(a?10?5)?(a?10?5)?a?a?100?2?a?50?25

?a?a?100?a?100?25?a?(a?1)?100?25注意最后的结果！因为a是自然数，所以a?(a?1)?100的末两位正好是00，故

a?(a?1)?100?25的末两位正好是25。对于两位数的情形而言，a?(a?1)正好是用十

位上的数乘以比它大1的数。所以，对个位是5的两位数与自己做乘法，其乘积可以很快用如下方式写出：1）先观察十位上的数是多少；2）用十位上的数乘以比它大1的数，写出计算结果；3）直接将25写在2）的结果的后面，即是最终结果。（注：这里需要反复强调两点：①因数的个位是5；②个位是5的数与自己做乘法。至于三位数或者以上，仍然适用。）

思路（二）：考虑一个数与自己相乘（即这个数的平方）的几何意义——以这个数为边长的正方形的面积。比如，以35为例，35×35=1225 即表示边长为35的正方形的面积是1225。

作图如下:

5×5 35

30 5 5 经过一番剪拼，我们把一个边长为35的正方形变为了一个长为40、宽为30的长方形和一个个边长为5的小正方形。也就是：35×35=30×40+25=3×4×100+25。与思路（一）吻合。

上述结论的一个简单推广：

请同学们，计算下列一组算式的值，并自己研究其规律。

14×16 = 224 13×17= 83×87= 22×28 = 616 24×26= 54×56= 33×37 = 1221 32×38= 71×79= [附]设计意图：为小学3-6年级学生设计的探究问题，同时兼顾数形结合。