谈数形结合思想在中学数学解题中的应用

谈数形结合思想在中学数学解题中的应用

目录

摘要 ............................................................................................................................... 1 Abstrqct ........................................................................................................................ 1 1引言 ............................................................................................................................ 2 2 方程问题 ................................................................................................................... 2

2.1 方程实根的正负情况 ............................................................................... 2 2.2 求方程实根的个数 ................................................................................... 3 2.3 含参数的方程 ........................................................................................... 3

3 不等式问题 ............................................................................................................... 4

3.1 无理不等式 ............................................................................................... 4 3.2 二元二次不等式组 ................................................................................... 4 3.3 高次不等式 ............................................................................................... 5 3.4 绝对值不等式 ........................................................................................... 5 3.5 含参数的不等式 ....................................................................................... 6

4 最值问题 ................................................................................................................... 6

4.1 转化为直线的截距 ................................................................................... 6 4.2 转化为直线的斜率 ................................................................................... 7 4.3 转化为距离 ............................................................................................... 7

5 函数问题 ................................................................................................................... 8

5.1 比较函数值的大小 ................................................................................... 8 5.2 函数的定义域 ........................................................................................... 9 5.3 函数的值域 ............................................................................................... 9 5.4 函数求值 ................................................................................................. 10 5.5 函数的单调区间 ..................................................................................... 11 5.6 函数的奇偶性,单调性 ............................................................................ 11

6解决线性规划问题 .................................................................................................. 12 参考文献 ..................................................................................................................... 13 致谢 ............................................................................................................................. 13

Ⅰ

谈数形结合思想在中学数学解题中的应用

XXX

数学与信息学院数学与应用数学专业2011级 指导老师:XXX

摘要：数形结合思想在中学数学中应用广泛, 本文将例举说明数形结合思想方法在方程问题，不等式问题，最值问题，函数问题，线性规划问题等方面的实际应用。充分说明在解题中运用数形结合的方法，借助几何图形的直观描述，如何使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。在中学数学解题中充分运用数形结合思想,有助于学生思维能力的培养, 有利于他们解题能力的提高。关键词: 数形结合；数形结合思想；方程问题；不等式问题；最值问题；函数问题；线性规划问题

On the combination of application of thought in middle school

mathematics

XXX

College of Mathematics and Information Mathematics and Applied Mathematics

Grade 2011 Instructor: XXX

Abstrqct：Several form combining ideas is widely used in the middle school mathematics, this article will illustrate that number form combined with the thinking and methods in the equation, inequality problem, the most value problem, function problem, the practical application of linear programming problems. Full explanation in the problem solving, with the method of using the number form, with the help of a visual description of the geometry, how to make many abstract concepts and visual and simplify complex relationships. Full use of in the middle school mathematics problem-solving number form combining ideas, helps to develop students' thinking ability, is conducive to the improvement of their ability to problem solving.

Key words: The number of combination form; Several form combining ideas; Equation problem; Inequality problem; The most value problems; Function problem; Linear programming problem

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1引言

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，我们通常把数与形之间的一一对应关系称之为数形结合或形数结合。其主要作用是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。纵观多年来的各地的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，都可起到事半功倍的效果。

在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。将“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解决集合问题，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，三角函数问题，解决线性规划问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅易于直观的寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理过程，大大简化解题过程。下面我将就数形结合思想在方程、不等式、线性规划中的应用做一个系统的分析与总结。

2 方程问题

方程是中学数学中常见和重要的学习研究对象，特别是二次方程，是方程问题学习中的重点和难点。而方程、不等式、函数三者之间又有密切联系 ，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。

2.1 方程实根的正负情况

若用代数方法研究方程根的情况,计算复杂.但如果用数形结合的方法,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了。

例1 已知二次方程x2?2x?lg(2a2?a)?0有一正根和一负根,求a的取值范围.

解:设f(x)?x2?2x?lg(2a2?a)

因为二次项系数大于0，函数图象开口向上，如图1 所以函数与x轴的交点落在y轴两侧只需f(0)?0，

f(0)?lg(2a2?a)?0?0?2a2?a?1.

11解之得，-?a?0或?a?1.

22图1

利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论。分析题意，

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