上海市杨浦区控江中学2019年高考数学模拟试卷(文科)(10月份) Word版含解析

，

经计算得V≈22.7（立方米）． 故r的最大值为1.2（米），此时储油罐的体积约为22.7立方米．

21．已知fn（x）=xn+xn﹣1+…+x﹣1，x∈（0，+∞）．n是不小于2的固定正整数．

（1）解不等式f2（x）≤2x；

（2）试分别证明：函数f3（x）在（0，1）内有一个零点，且在（0，1）内仅有一个零点．

【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】（1）根据函数的表达式求出当n=2时，f2（x）的表达式，即可解不等式f2（x）≤2x；

（2）根据函数零点的判定条件进行证明即可． 【解答】解：（1）n=2时，

，﹣﹣

由f2（x）≤2x得x2+x﹣1≤2x，即x2﹣x﹣1≤0．﹣ 得

≤x≤

，﹣﹣

，

]．﹣

．﹣，

故不等式的解集为[证明：（2）f3（1）=2＞0．﹣ （因f连续）故f（x）在又f在

上有零点．﹣

上增，故零点不会超过一个．﹣

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于点P，Q．

（1）若?=2，求c的值；

（2）若c=1，P为线段AB的中点，求证：直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点． （3）若c=1，直线QA的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P是否一定为线段AB的中点？说明理由．

【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算． 【分析】（1）设出直线AB：y=kx+c，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得c的值；

（2）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证； （3）设A（t，t2），这里xA=t≠0，由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2．求得Q的横坐标，P的横坐标，求得AC的方程，联立抛物线的方程，求得B的横坐标，运用中点坐标公式，即可判断P为线段AB的中点． 【解答】解：（1）设直线AB：y=kx+c，与y=x2联立，得x2﹣kx﹣c=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1x2=﹣c，从而y1y2=x12x22=c2，

由?=2，可得c2﹣c=2得c=2或﹣1（舍去）， 得c=2；

（2）证明：由（1）可得

，

故直线PQ：x=，可得Q（，﹣1）．

设

，kQA=

=，

由（1）可得x1x2=﹣1，即有x2=﹣

，

可得kQA==2x1，

由y=x2的导数为y′=2x，

可得过A的切线的斜率为2x1，

故直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点； （3）设A（t，t2），这里xA=t≠0，

由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2． 与y=﹣1相交，得xQ=

，

故xP=

，

=（t，t2﹣1），

所以直线AC：y=（t﹣）x+1，与y=x2联立，得x2﹣（t﹣）x﹣1=0， 即（x﹣t）（x+）=0，故xB=﹣． 这样

，即P是AB的中点．

23．在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an﹣1﹣an﹣2|，n=3，4，5，…，则称{an}为“D﹣数列”．

（1）举出一个前五项均不为零的“D﹣数列”（只要求依次写出该数列的前五项）；

（2）若“D﹣数列”{an}中，a1=3，a2=0，数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，…，写出数列{an}的通项公式，并分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；

（3）证明：设“D﹣数列”{an}中的最大项为M，证明：a1=M或a2=M． 【考点】数列的极限． 【分析】（1）由新定义，比如如10，9，1，8，7，1； （2）{an}的极限不存在，{bn}的极限存在．运用分段形式写出an与bn的通项公式，即可得到结论；

（3）运用反证法证明．假设a1≠M且a2≠M，设a1=k，a2=l，讨论k，l的关系．运用推理论证得到矛盾，即可证明． 【解答】解：（1）如10，9，1，8，7等等． （2）{an}的极限不存在，{bn}的极限存在． 事实上，因为|3﹣0|=3，|0﹣3|=3，|3﹣3|=0， 当n∈N*时，an=因此当n∈N*时，bn=6． 所以

bn=6．

，k∈N*时，

（3）证明：假设a1≠M且a2≠M， 设a1=k，a2=l，若k=l，

由an=|an﹣1﹣an﹣2|，可得{an}中的最大项为k，（k≠m）， 这与{an}中的最大项为M矛盾；

若k≠l，可设k＞l，由an=|an﹣1﹣an﹣2|， 可得前几项为k，l，k﹣l，k﹣2l（或2l﹣k），…，

由k﹣2l＜k，2l﹣k＜k，可得k﹣3l＜k，3l﹣2k＜k，…， 则{an}中的最大项为k，（k≠m）， 这与{an}中的最大项为M矛盾．

综上可得假设不成立．则a1=M或a2=M．

2018-2019学年9月3日