（含答案）4函数的单调性、奇偶性与周期性

高三理科数学练习四 函数的单调性、奇偶性与周期性

一、填空题

2，x<0，??

1．(2013·盐城模拟)设函数f(x)＝?0，x＝0，

??g?x?，x>0，

x

1

且f(x)为奇函数，则g(3)＝____－

8

2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)＝________0 f?x?＋f?－x?

3．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为

x________(－∞，－2)∪(0,2)

4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝1

________. 0

3

5．(2013·潍坊质检)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1

＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值__小于_____0.(填：大于、等于或小于之一)

6．奇函数f(x)在区间[2,9]上是增函数，在区间[3,8]上的最大值为9，最小值为2，则f(－8)－2f(－3)＝________.－5

7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则 f(－25)、f(11)、f(80)从小到大依次为____f(－25)

8．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为_____ (－1,0)∪(1,3)

9．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如：函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题，其中真命题序号是________

①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 解：根据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的，故命题②④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题．

答案：②③④

110．(2013·南京模拟)已知f(x)＝a－x是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，

2－1则f(x)的值域为________．

解析：因为f(x)＝a－

1

是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，所以f(－1)＝2－1

x111

－f(1)，计算得a＝－，故f(x)＝－－x.令t＝2x，x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则原函

222－11111

0，?∪[2，＋∞)，此函数在?0，?和[2，＋∞)上单调递增，数可化为y＝－－，t∈??2??2?2t－1

1

31133113－，－?∪?，?.答案：?－，－?∪?，? 从而f(x)的值域为?2??22?2??22??2?2

2

??x＋x，x≤0，

11．已知函数f(x)＝?2为奇函数，则a＋b＝________；

?ax＋bx，x>0，?

解析：当x<0时，则－x>0，所以f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx，而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.答案：0

12．(2013·临安模拟)若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．

解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.答案：－1

-x??e－2，x≤0，

13．已知函数f(x)＝?(a是常数且a>0)．下列命题正确命题的序号是

?2ax－1，x>0?

______

1?①函数f(x)的最小值是－1； ②函数f(x)在R上是单调函数； ③若f(x)>0在??2，＋∞?x1＋x2?上恒成立，则a的取值范围是a>1； ④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2y，恒有f??2?f?x1?＋f?x2?<. 2

解析：根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)1?在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在??2，＋∞?上恒成立，1

则2a×－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的

2x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f?

答案：①③④

2a－1

14．(2013·徐州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，

a＋1则a的取值范围是________．

解析：∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)2a－13a

＝f(2)＝>－1.即>0，解得a>0或a<－1.答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)

a＋1a＋1

二、解答题

15．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式

x1＋x2?f?x1?＋f?x2?

成立，故④正确． 2?2?<

?x－1??<0的解集． f?x??2??

解：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

2

?x－1??<0＝f(1)，∴∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若f?x??1???2??

?x?x－2?<1，

11＋171－171?x?x－1??<0＝f(－1)， x－?<1，解得

?

1

x－?>0，x??2?

?

∴?

?x－1?<－1.x??2?1

x－?<0，x??2?

1

x－?<－1，解得x∈?. ∴x??2?

?1?1＋171－17

?. ∴原不等式的解集是?x?

44??2? 16．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]

＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π) ＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时f(x)＝x，则f(x)的图象如图所示．

1

×2×1?＝当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×??2?4.

(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．

17、在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知

????点A的极坐标为?2,?，直线l的极坐标方程为?cos(??)?a，且点A在直线l上.

4?4? （Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；

?x?1?cosa, （Ⅱ）圆C的参数方程为?(a为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系.

y?sina?

3

1

x2－3?的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等， 18、如果?x??

(1) 求展开式的中间项；

n

?x－1?n－1

(2) 求?4?展开式中所有的有理项．

2x??

1636x2－3?展开式中，第四项和第七项的二项式系数分别是C3解：(1) ?n，Cn，由Cn＝Cn，x??112644－3425x2－3?展开式的中间项为第5项和第6项，得n＝9，所以?即T＝(－1)C(x)(x)＝，59x??x2126－3524

T6＝(－1)5C59(x)(x)＝－7. x

(2) 通项为

Tr＋1＝Cr8(3r?－1?r1?rr16－4?x)?4?＝?－2?C8x(r＝0，1，2，?，8)，为使Tr＋1为有

?2x?9n

8－r

144－?C0理项，必须r是4的倍数，所以r＝0，4，8，共有三个有理项，分别是T1＝?x＝x，8?2?1351－2?－1?C8－?C4T5＝?x＝x，T＝x＝. 898?2??2?8256x219、一个口袋中装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X.

(1) 求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率； (2) 求X的分布列及X的数学期望．

221C15C3＋C5C3

解： (1) 记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件A，依题意知P(A)＝

C38

4

8

0

4545

＝.所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为. 5656

3210

C01C1C230C3105C35C3155C35C3(2) P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝.

C856C856C856C856

∴ X的分布列为

X

0 1 4

2 3 P 1 5615 5630 5610 56115301015

所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

565656568

20、如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E

是PB的中点．

(1) 求证：AE⊥平面PBC；

(2) 求二面角B-PC-D的余弦值．

(第20题

图)

(1) 证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

11，0，?， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，P(0，0，1)，E?2??2

(第20题图)

11→→→→→→→

，0，?，BC＝(0，1，0)，BP＝(－1，0，1)．因为AE·BC＝0，AE·BP＝0，AE＝?2??2→→→→

所以AE⊥BC，AE⊥BP.所以AE⊥BC，AE⊥BP.因为BC、BP平面PBC，且BC∩BP＝B，所以AE⊥平面PBC.

→→→

(2) 解：设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，则n·CD＝0，n·PD＝0.因为CD＝(－1，2，→

0)，PD＝(0，3，－1)，所以－x＋2y＝0，3y－z＝0.令x＝2，则y＝1，z＝3.所以n＝(2，

→

1，3)是平面PCD的一个法向量．因为AE⊥平面PBC，所以AE是平面PBC的法向量．所以cos

→AE·n5757→→

〈AE，n〉＝＝.由此可知，AE与n的夹角的余弦值为.根据图形可知，二

→1414|AE|·|n|57

面角BPCD的余弦值为－.

14

5