第21课时—等差数列、等比数列的性质及应用

一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用

二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关

的问题，培养对知识的转化和应用能力．

三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：

有关等差、等比数列的结论

1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍为等差数列． 2．等差数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq 3．等比数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq

4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍为等比数列． 5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an?bn}仍为等差数列． 6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an?bn}、??an??1??、??仍为等比数列． ?bn??bn?（二）主要方法：

1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．

（三）例题分析： 例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；

*（2）已知数列{an}是等比数列,且an>0,n?N,a3a5?2a4a6?a5a7?81，则a4?a6? 9 ．

（3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是 210 ．

例2．若数列{an}成等差数列，且Sm?n,Sn?m(m?n)，求Sn?m． 解：（法一）基本量法（略）；

2?(1)?An?Bn?m （法二）设Sn?An?Bn，则? 2(2)??Am?Bm?n(1)?(2)得：(n2?m2)A?(n?m)B?m?n，?m?n， ∴(m?n)A?B??1，

2∴Sn?m?(n?m)A?(n?m)B??(n?m)．

例3．等差数列{an}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a1?1，求其项数和中间项.

解：设数列的项数为2n?1项，

2(n?1)(a1?a2n?1)n(a2?a2n)?77，S偶??66

22Sn?177?∴奇?， ∴n?6，∴数列的项数为13，中间项为第7项，且a7?11．

S偶n66则S奇?第三章 数列——第21课时：等差数列、等比数列的性质及应用

说明：（1）在项数为2n?1项的等差数列{an}中，S奇=(n+1)a中,S偶=na中,S2n+1=(2n+1)a中； （2）在项数为2n项的等差数列{an}中S奇=nan,S偶=nan?1,S2n+1=n(an?an?1)．

例4．数列{an}是首项为1000，公比为

11的等比数列，数列{bn}满足bk?(lga1?lga2???lgak) 10k（1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn?． (k?N*)，

4?n解：（1）由题意：an?10，∴lgan?4?n，∴数列{lgan}是首项为3，公差为?1的等差数列，

k(k?1)1n(n?1)7?n，∴bn?[3n? ]?2n22?bn?021由?，得6?n?7，∴数列{bn}的前n项和的最大值为S6?S7?

2?bn?1?0∴lga1?lga2???lgak?3k?（2）由（1）当n?7时，bn?0，当n?7时，bn?0， ∴当n?7时，Sn??b1?b2???bn?(3?7?n2)n??1n2?13n 2441213n?n?21 44当n?7时，Sn??b1?b2???b7?b8?b9???bn?2S7?(b1?b2???bn)??1213?n?n(n?7)??44∴Sn???．

?1n2?13n?21(n?7)??44例5*．若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意自然数n，有an??2n?3，2*4Tn?12Sn?13n，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设集合A?{x|x?2an,n?N}，

B?{y|y?4bn,n?N*}．若等差数列{cn}任一项cn?A?B,1c是A?B中的最大数，且

?265?c10??125，求{cn}的通项公式．

解：（1）当n?2,n?N时：?*?4Tn?12Sn?13n，

?4Tn?1?12Sn?1?13(n?1)两式相减得：4bn?12an?13，∴bn?3an?∴数列{bn}的通项公式为bn??3n?13517??3n?，又b1??也适合上式， 4445． 4*（2）对任意n?N，2an??2n?3,4bn??12n?5??2(6n?1)?3，∴B?A，∴A?B?B

∵c1是A?B中的最大数，∴c1??17，设等差数列{cn}的公差为d，则c10??17?9d，

5?d??12，又4bn是一个以?12为公差的等差数列， 9*∴d??12k(k?N)，∴d??24，∴cn?7?24n．

∴?265??17?9d??125，即?27

第三章 数列——第21课时：等差数列、等比数列的性质及应用

（四）巩固练习：

a1?a2???an（n?N*）也为等差数

n列，类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0（n?N*），则有dn?nC1?C2?Cn1．若数列{an}（n?N*）是等差数列，则有数列bn?（n?N*）也是等比数列．

2．设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n?N，都有数列的第11项与第二个数列的第11项的比是说明：

*Sn7n?1 ，则第一个?Tn4n?274． 3anS2n?1． ?bnT2n?1

五．课后作业：《高考A计划》考点21，智能训练4，8，12，14，15，16．

第三章 数列——第21课时：等差数列、等比数列的性质及应用