2020届武汉市部分学校中考数学模拟试卷(4月份)(有答案)

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（1）探究与猜想 ①探究：

取点B（6，﹣13）时，点A的坐标为（

，

），直接写出直线AB的解析式 y=﹣x﹣ ；取点B

（4，﹣3），直接写出AB的解析式为 y=﹣x﹣ ②猜想：

我们猜想直线AB必经过一个定点Q，其坐标为 （﹣2，1） ．请取点B的横坐标为n，验证你的猜想； 友情提醒：此问如果没有解出，不影响第（2）问的解答

（2）如图2，点D在抛物线M上，若AB经过原点O，△ABD的面积等于△ABC的面积，试求出一个符合条件的点D的坐标，并直接写出其余的符合条件的D点的坐标． 【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）①先求出点A坐标，再根据待定系数法即可解决问题．

②猜想直线AB必经过定点Q（﹣2，1），设A（m，﹣ m+5），B（n，﹣ n+5），过点C作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、P， 由∠ACB=90°，△CAN∽△BCP，得

=

，得出m、n的关系，再联立方程组

，得x+kx+b

2

2

2

﹣5=0，利用根与系数关系解决问题．

（2）①当CD∥AB时，△ABD的面积等于△ABC的面积，点D符合条件．

②求出直线CD与y轴的交点E，点E关于x轴的对称点F（0，﹣4），过点F平行AB的直线解析式为y=﹣x﹣4，此时直线与抛物线的交点满足条件，利用方程组即可解决问题． 【解答】解：（1）①设直线AB为y=kx+b， ∴

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解得，

∴直线AB解析式为y=﹣x﹣， ∵B（4，﹣3），C（2，3）， ∴直线边长为y=﹣3x+9， ∵AC⊥BC，

∴直线AC为y=x+，

由解得或，

∴点A坐标（﹣，），

∴直线AB解析式为y=﹣x﹣， 故答案分别为y=﹣x﹣，y=﹣x﹣， ②猜想直线AB必经过定点Q（﹣2，1）， 验证如下：

设A（m，﹣ m+5），B（n，﹣ n+5），

过点C作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、P， ∵∠ACB=90°，△CAN∽△BCP， ∴

=

，

2

2

∴=，

∴=，

∴（m+2）（n+2）=﹣4， ∴mn+m+n+8=0，① 联立方程组

，

∴x2+kx+b﹣5=0，

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∴m+n=﹣2k，mn=2b﹣10，② 将②代入①，得化简，得 b=2k+1，

∵直线AB的解析式为y=kx+2k+1，即y=k（x+2）+1， 直线AB经过定点（﹣2，1）

（3）当直线AB经过原点，其解析式为y=﹣x，

当CD∥AB时，△ABD的面积等于△ABC的面积，点D符合条件． 此时，直线CD的解析式为y=﹣x+4． 则点D的横坐标是﹣x2+5=﹣x+4的根． 解得x1=2，x2=﹣1，其中x1=2是点C的横坐标． 当x=﹣1时，y=， ∴D（﹣1，），

∵直线CD交y轴于E（0，4），点E关于x轴的对称点F（0，﹣4），

过点F平行AB的直线解析式为y=﹣x﹣4，此时直线与抛物线的交点满足条件，

由解得或，

∴D点坐标分别为（，﹣）和（，﹣

，﹣）和（

）． ，﹣

）．

∴其余符合条件的D点坐标分别为（

【点评】本题考查了二次函数综合题、一次函数，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用平行线的性质，寻找面积相等的三角形，属于中考压轴题．

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