高中数学 参数方程 2 - 2 直线和圆锥曲线的参数方程 2 - 2 - 2-2 - 2 - 4直线和圆锥曲线的参数方程学案

2.2 直线和圆锥曲线的参数方程

2.2.2 圆的参数方程 2.2.3 椭圆的参数方程 2.2.4 双曲线的参数方程

1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程. 2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程.(易错易混点) 3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题.(难点)

教材整理1 圆的参数方程 1.标准圆的参数方程

已知一个圆的圆心在原点，半径为r，设点P(x，y)是圆周上任意一点，连结OP，令OP与x轴正方向的夹角为α，则α唯一地确定了点P在圆周上的位置.作PM⊥Ox，垂足为M，显然，∠POM＝α(如图2-2-3).则在Rt△POM中有OM＝OPcos α，MP＝OPsin α，

图2-2-3

??x＝rcos α，即?

?y＝rsin α?

(α为参数).这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.参数

α的几何意义是OP与x轴正方向的夹角.

2.一般圆的参数方程

以(a，b)为圆心，r为半径的圆，普通方程为(x－a)＋(y－b)＝r，它的参数方程为

??x＝a＋rcos α，?

?y＝b＋rsin α?

2

2

2

(α为参数，a，b是常数).

填空：

(1)圆心为(2,1)，半径为2的圆的参数方程是________. (2)在圆?

??x＝－1＋cos α??y＝sin α

(3)圆?

?x＝1＋cos α，?

??y＝1＋sin α

(α为参数)中，圆的圆心是________，半径是________.

(α为参数)上的点到O(0,0)的距离的最大值是________，最

小值是________.

??x＝2＋2cos α，

【解析】 (1)?

?y＝1＋2sin α?

(α为参数).

(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0)，半径为1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1)，半径为1. ∵圆心到原点的距离为2，∴最大值为2＋1， 最小值为2－1.

??x＝2＋2cos α，

【答案】 (1)?

?y＝1＋2sin α?

(α为参数)

(2)(－1,0) 1 (3)2＋1 2－1

教材整理2 椭圆与双曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程 (1)椭圆的中心在原点

??x＝acos φ，x2y2

标准方程为2＋2＝1，其参数方程为?

ab??y＝bsin φ

(φ为参数).

参数φ的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角. (2)椭圆方程不是标准形式

?x－x0??y－y0?

其方程也可表示为参数方程的形式，如＋＝1(a＞b＞0)，参数方程22

2

2

ab??x＝x0＋acos φ，可表示为?

?y＝y0＋bsin φ?

(φ为参数).

2.双曲线的参数方程

当以F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，双曲

x2y2

线的普通方程为2－2＝1(a＞0，b＞0).

aba??x＝，

此时参数方程为?cos φ

??y＝btan φ

(φ为参数).其中φ∈

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

求圆的参数方程 圆(x－r)＋y＝r(r>0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆

的参数方程.

【精彩点拨】 根据圆的特点，结合参数方程概念求解. 【自主解答】 如图所示，

设圆心为O′，连结O′M，∵O′为圆心， ∴∠MO′x＝2φ， ∴?

?x＝r＋rcos 2φ，?

??y＝rsin 2φ.

222

1.确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参

??x＝r＋rcos φ，数方程写成?

?y＝rsin φ.?

2.由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程.

1.已知点P(2,0)，点Q明轨迹是什么曲线.

【解】 设中点M(x，y).则

??x＝cos θ，

是圆?

?y＝sin θ?

上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说

2＋cos θx＝，??2?0＋sin θ??y＝2，

1

x＝1＋cos θ，??2即?1

y＝??2sin θ

(θ为参数)，

这就是所求的轨迹方程.

1

它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆.

2

椭圆的参数方程及其应用 x2y2 如图2-2-4所示，已知点M是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，A(a,0)

ab和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值.

图2-2-4

【精彩点拨】 本题可利用椭圆的参数方程，把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解.

x2y2

【自主解答】 M是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，

abx2y2

由椭圆2＋2＝1的参数方程为

ab??x＝acos φ，???y＝bsin φ

(φ为参数)，

故可设M(acos φ，bsin φ)，

π

其中0＜φ＜，因此，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB

211

＝OA2yM＋OB2xM 22

π?12?＝ab(sin φ＋cos φ)＝absin?φ＋?.

4?22?

π2

所以，当φ＝时，四边形MAOB面积的最大值为ab.

42

本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，这是解题的突破口和关键，用椭圆的参数方程，将面积表示为参数的三角函数求最大值，思路顺畅，解法简捷，充分体