圆锥曲线高考题汇编（带详细解析）

解得：a≤

2（舍去）或a≥46，

?244a?,2?a?62?a?故f（a）=min｛g（a），S（a）｝=?

?2(1?4),a?46?a4?86.（Ⅰ）解：曲线C1的方程为y＝（x－t）3－（x－t）＋s．

（Ⅱ）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1），设B2（x2，y2） 是B1关于点A的对称点，则有

x1?x2ty1?y2s?,?． 2222所以x1＝t－x2，y1＝s－y2．

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：s－y2＝（t－x2）3－（t－x2）， 即y2＝（x2－t）3－（x2－t）＋s 可知点B2（x2，y2）在曲线C1上.

反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上，因此，曲线C与C1关于点A对称. （Ⅲ）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点

?y?x3?x所以方程组?有且仅有一组解

3?y?(x?t)?(x?t)?s消去y整理得3tx2－3t2x＋（t3－t－s）＝0 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根.

所以t≠0并且其根的判别式Δ＝9t4－12t（t3－t－s）＝0

?t?0t3即?3，∴s＝－t且t≠0.

4?t(t?4t?4s)?0

评述：本小题主要考查函数图象、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力.

87.解法一：如图8—24建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点.

依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点.

设曲线段C的方程为 y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0）

图8—24 其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|．

所以M（?pp，0），N（，0） 22由|AM|＝

17，|AN|＝3得

①

（xA＋

p2

）＋2pxA＝17 2（xA?p2

）＋2pxA＝9 2 ②

由①②两式联立解得xA＝

4，再将其代入①式并由p>0 p?p?4?p?2解得?或?

?xA?1?xA?2因为△AMN是锐角三角形，所以

p＞xA， 2?p?2故舍去?

?xA?2所以p＝4，xA＝1．

由点B在曲线段C上，得xB＝|BN|?p＝4． 2综上得曲线段C的方程为y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．

解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点.作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F.

设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0） 依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，

yA＝|DM|＝

|AM|2?|DA|2?22

由于△AMN为锐角三角形，故有 xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋

|AN|2?|AE|2＝4

xB＝|BF|＝|BN|＝6．

设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合 ｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0｝ 故曲线段C的方程为y2＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．

评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.

2?x?a?188.（1）解：设M点的坐标为（x，y），由点A的坐标为（2a2+2，a），B点的坐标为（0，3a），得?.

?y?2ay2∴轨迹C的方程为x=+1，

4即y2=4（x－1）；

（2）解法一：设直线l的方程为y=k（x－2），因l与抛物线有两个交点，故k≠0，得x=

y+2，代入y2=4（xk－1），得y2－

4y－4=0， k故Δ=

16+16＞0恒成立. 2k记这个方程的两实根为y1、y2，则

114(k2?1)2|PQ|=1?2|y1－y2|=1?2(y1?y2)?4y1y2?. 2kkk又点E到直线l的距离 d=

|k?1?0?2k|k?12?|k|k?12.

2k2?11∴△EPQ的面积为S△EPQ=|PQ|2d=.

|k|22k2?131由=4，解得k2=，∴k=±.

|k|33∴α=

?6或α=

5?. 6解法二：设直线l的方程为y=k（x－2），代入y2=4（x－1），得 k2x2－（4k2+4）x+4k2+4=0.

因直线l与抛物线有两个交点，故k≠0， 而Δ=16（k2+1）＞0恒成立.

记这个方程的两个实根为x1、x2，因抛物线y2=4（x－1）的焦点是D（2，0），准线是x=0.

4(k2?1)所以|PQ|=x1+x2=.

k2其余同解法一.

解法三：设直线l的方程为y=k（x－2），因为直线与抛物线交于两点，所以k≠0，则x=

y+2，代入y2=4（xk－1）得y2－

4y－4=0. k11|ED|2（|y1|+|y2|）=|ED|2|y1－y2| 22S△EPQ=S△EPD+S△EQD=

=

12212(y1?y2)?4y1y2 2=

1244()2?16??4. 2kk4?4=4. k2∵S△EPQ=4， ∴

得k=±

3?5?，α=或. 366评述：本题考查直线与抛物线的位置关系，点的轨迹方程，直线的基础知识等. 89.解：（1）抛物线y2=p（x+1）的准线方程是x=－1－

p，直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），由题设交点4在准线右边，得m＞－1－

p，即4m+p+4＞0. 4?y2?p(x?1)由? ?x?y?m得x2－（2m+p）x+（m2－p）=0.

而判别式Δ=（2m+p）2－4（m2－p）=p（4m+p+4）. 又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0. 因此，直线与抛物线总有两个交点；

（2）设Q、R两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2－（2m+p）x+m2－p=0的两根，

∴x1+x2=2m+p，x12x2=m2－p. 由OQ⊥OR，得kOQ2kOR=－1， 即有x1x2+y1y2=0.

又Q、R为直线x+y=m上的点， 因而y1=－x1+m，y2=－x2+m.

于是x1x2+y1y2=2x1x2－m（x1+x2）+m2=2（m2－p）－m（2m+p）+m2=0，

m2∴p=f（m）=，

m?2?p?0由?得m＞－2，m≠0； ?4m?4?p?0（3）（文）由于抛物线y2=p（x+1）的焦点F坐标为（－1+

p，0），于是有 4|?1?p?0?m|24，即|p－4m－4|=4. ?22m23m2?12m?8又p= ∴||=4.

m?2m?2解得m1=0，m2=－

84，m3=－4，m4=－. 33但m≠0且m＞－2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直线方程为3x+3y+4=0. （理）解法一：由于原点O到直线x+y=m的距离不大于

2，于是 2