武汉工业学院2010-2011学年第1学期线性代数期末考试题

武汉工业学院2010 –2011学年第1学期

考 试 试 卷（A卷）

一、填空题（3分×5=15分）

1．已知排列a1a2a3a4a5的逆序数为4，则排列a5a4a3a2a1的逆序数为 。

32．D?111852234，A为D中(i,j)元的代数余子式，则A?A?A?A 。 11121314ij491682764?010??100??143?3. 已知?100?X?001???201?，则X? 。

???????001??010??120???????5．已知三阶矩阵A的特征值为1,2,?1，则|A2?3A?2E|? 。

二、计算（10分×7=70分）

123?n210?06．计算D?301?0

n?????n00?1?100??300?????7．设AP?PC，其中P??320?，求f(A)?A3(5E?6A?A2)。 C??010?，

?002??321??????220??。 8．解矩阵方程AX?A?X，其中A??213???010???9．设a1?(1,0,2,1)T，a2?(1,2,0,1)T，a3?(2,1,3,0)T，a4?(2,5,?1,4)T，

a5?(1,?1,3,?1)T。求它的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出。

?x1?x2?x3?x4?x5?7?10．求非齐次线性方程组?3x1?x2?2x3?x4?3x5??2的通解和其导出组的基础解

?x?x?2x?6x?232345?系。

22211．求一正交变换X?PY,将二次型f?x1 ?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3化为标准形。22212．判断二次型f??5x1 ?6x2?4x3?4x1x2的正（负）定、半正（负）定与不定性。

三、应用题（5分×2=10分） 略。 四、证明题（5分×2=10分）

14．设向量组?1,?2,?3线性无关,求证：向量组?1??1??2，?2??2??3，

?3??3??1亦线性无关。

15．设b1?a1?a2，b2?a2?a3，b3?a3?a4，b4?a4?a1，求证：b1,b2,b3,b4线性相关。

武汉工业学院2010 –2011 学年第2学期

考 试 试 卷（A卷）

一、填空题（2分×8=16分）

OA?的逆为 。 3．设A与B均为可逆阵，则C????BO????4．设A为三阶阵，A?0.5，则|(3A)?1?2A*|? 。

5．设4阶方阵A?(?,?1,?2,?3)，B?(?,?1,?2,?3)，其中?,?,?1,?2,?3均为4维列向量，且已知A?4，B?1，则A?B? 。

6．设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，B?A?3A?E，则|B|? 。

2?tx?y?z?0?7．设方程组?x?ty?z?0有非零解，则t? 。

?x?y?z?0?8．设f?x1?4x2?4x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型，则t的取值范围是 .。

222二、解答题（1-2小题每小题7分，3-8小题每小题10分，共74分）

??1??11．计算D??2??2?014?61732?a2????01? 2. 计算D????n1???01???0?01??a?00?????? (n?2)

?0?a0???10?0a??1?1??010?????3．设X?AX?B，其中A???111?，B??20?，求矩阵X。

?5?3???10?1?????4．设a1?(2,1,3,?1)T，a2?(3,?1,2,0)T，a3?(1,3,4,?2,)T，a4?(4,?3,1,1)T。求：（1）它的秩与一个极大线性无关组；（2）将其余向量用极大无关组线性表出。

5．设四元非齐次线性方程组AX?b，R(A)?3。已知?1,?2,?3是其解向量，且

?1??2?(2,0,4,6)T，?1??3?(1,?2,1,2)T。求AX?b的通解。

?kx1?x2?x3?k?3?6．设有线性方程组?x1?kx2?x3??2，k为何值时？（1）它有唯一解；（2）无解；

?x?x?kx??223?1（3）有无穷多解，并求出其通解。

2227．求一正交变换X?PY,将f?5x1?5x2?3x3?2x1x2?6x1x3?6x2x3化成标准

形。

T8．设三阶方阵A的特征值为1,0,?1，其对应的特征向量分别为p1?(1,2,2)，

p2?(2,?2,1)T，p3?(?2,?1,2)T，求矩阵A。 三、证明题（5分×2=10分）

1．设实对称矩阵A的所有特征值的绝对值都等于1，求证A为正交矩阵。

2. 设?1,?,?n(n?1)线性无关，?1可由它们线性表出，?2不能由它们线性表出。求

证：?1,?,?n,?1??2线性无关。