2013年全国初中数学联赛初赛试卷

2013年全国初中数学联赛初赛试卷

一、选择题（7×4=28分） 1、下列计算准确的是 A、2a?a?2a236 B、(3a2)3?9a C 、

6a156?a?a23 D、(a?2)?a3?6

2、曾两度获得若贝尔（物理、化学）的居里夫人发现了镭这种放射性元素。已知1kg镭完全衰变后，放出的热量相当于375000kg煤燃烧放出的热量。估计地壳内含有100亿kg镭，这些镭完全衰变后放出的热量相当于 kg煤燃烧所放出的热量。 A、3.75?1013 B、3.75?21014 C、3.75?10 D、3.75?1016

3、直线y=2x－5与

y?(m?4)x?m?3（m为任意实数）的交点不可能在

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 4、实数b满足

b＜3 ，并且有实数a使a＜b恒成立，则a的取值范围是

A、小于或等于3的实数 B、小于3的实数 C、小于或等于－3的实数 D、小于－3的实数

5、一块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4：:30时与准确时间对准，则当天上午该手表时间是10:50时，准确时间应该是

A、 11：10 B 、11:09 C、 11:08 D、 11:07

6、若直角三角形的斜边长为c，内切圆半径r，则内切圆的面积与三角形的面积之比是 A、

?rc?2r?r B、

c?r C、

?r2c?r?r D、

c2?r2

7、我们将 1×2×3×?n记作n！(读作n的阶乘)，如：2！=1×2, 3！=1×2×3, 4！=1

×2×3×4，若设S=1×1!+2×2!+3×3!+??+2013×2013！，则S除以2014的余数是 A、0 B、1 C、1007 D、2013 二、填空题（7×4=28分）

x?3y?8、函数

x?2 的自变量x的取值范围是

29、设x1,x2是方程x?x?k?0 的两个实数根，若恰好x1?x1x2?x2?2k 成立，则k的值等于 10、已知二函数y?若

22x2?bx?c 的图象上有三个点（－1，y），（1，y）（3，y）。

2132y?y13，则y、y、c的大小关系用“＜”号连接起来是 。

1

11、经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转，也可能向右转。如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时其中两辆汽车向右转，一辆汽车向左转的概率是 。

12、如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的两边分别相交于点D、E，若∠A=70°，BC=2。则图中阴影部分的面积为

13、如果有2013名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1?的规律报数，那么第2013名学生所报的数应该是 。 14、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°,AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连接AE，则AE= 。

15、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，匀速相向而行，他们相遇时，要到达各自的终点B、A，甲、乙两人分别还需要16小时与9小时，则甲自A到B共需 小时。

三、解答题（12×5=60分） 16、先化简，再求值：

(x?2?122)?(?1) 其中 x=x?2x?22?4

17、如图。已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别为AB、BC上的点，且BE=2，BF=1，P为EF上的一个动点，作矩形PNDM，NP的延长线交AB于点G。 （1） 求证：EG=2PG

（2） 求矩形PNDM的最大面积。

18、为配合市级的“三创”工作，一所中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动。若每处安排10人，则还剩15人；托每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不小于10人，求这所中学选派的学生人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数？

19、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3，AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系xoy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y?3x?1经过这两个顶点2中的一个。

（1）写出矩形的四个顶点A、B、C、D的坐标。 （2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线

y?ax?bx?c的顶点为点P；

2① 若点P位于⊙M的外侧且在矩形ABCD的内部，求a的取值范围； ② 过点C作⊙M的切线交AD于点F，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是否在直线y?

20、给定两组数，A组数为：1、2、3、??100；B组数为：1、2、3、??100；对于A组中的数x，若有B组中的数y，使x+y也是B组中的数。，则称x为“吉祥数”，问A组中共有多少个“吉祥数”？

22223x?1 上？若不在，如何平移该直线使其经过点Q? 22013年全国初中数学联赛初赛试卷

参考答案

一、选择题 1、选D 选项 A 2a?a23?2a 选项 B

245(3a)23?27a36

选项 C

a6?a?a 选项 D

(a)?2?a?6

2、 选 C 因为 375000×100亿=3.75×

1015

3、 选 B 因为直线 y=2x－5不经过第二象限，两直线的交点不可能在第二象限 4、 选 C 因为b＜3 得－3＜b＜3，又a＜b恒成立，因此 a＜－3

5、 选A 手表走380分钟用了准确时间400分钟，因此当手表指示10:50时，准确时间是

11:10 6、选 B 设直角三角形的两直角边为a、b，则r?a?b?c 2 又直角三角形的面积为

1(a?b?c)r?(c?r)r， 2因此内切圆面积与三角形面积之比为：

?r2(c?r)r??rc?r

7、选 D 因为n×n!=(n+1)n! －n!

所以S=2！－1！+3！－2！+4！－3！+??+2014！－2013！ =2014！－1=2014×（2013！－1）+2013 因此S除以2014的余数是2013 二、填空题

8、x≥－3且X≠－2

由 x+3≥0 且x+2≠0 可得 x≥－3且x≠－2 9、－1 由 且

2x?x122??1,x1?x2?k

22 1?4?1?k?1?4k?0 得 k≤142 得：x1?x1?x2?x2?(x1?x2)?x1x2=(?1)?k=1－k=2k11解得：k=－1 或k=,但k=不合题意，应舍去

222

10、y?c?2y1