(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习第一部分专题四立体几何与空间向量讲义

专题四 立体几何与空间向量

第一讲

考点一 空间几何体的三视图 一、基础知识要记牢

空间几何体的三视图、表面积及体积

三视图的排列规则是：“长对正、高平齐、宽相等”． 二、经典例题领悟好

[例1] (1)(2017·惠州调研)如图所示，将图①中的正方体截去两个三棱锥，得到图②中的几何体，则该几何体的侧视图为( )

(2)(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )

[解析] (1)从几何体的左面看，棱AD1是原正方形ADD1A1的对角线，在视线范围内，画实线；棱C1F不在视线范围内，画虚线．故选B.

(2)先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体如图①所示，故其侧视图如图②所示．故选B.

[答案] (1)B (2)B

分析空间几何体的三视图的要点

(1)根据俯视图确定几何体的底面．

(左)

- 1 -

(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．

(3)确定几何体的形状，即可得到结果．

比较复杂的三视图问题常常借助于长方体确定空间几何体的形状. 三、预测押题不能少

1．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )

A．32 C．22

B．23 D．2

解析：选B 在正方体中还原该四棱锥如图所示， 从图中易得最长的棱为

AC1＝AC2＋CC21＝

2＋2

22

＋2＝23.

2

考点二 空间几何体的表面积与体积 一、基础知识要记牢

常见的一些简单几何体的表面积和体积公式

圆柱的表面积公式：S＝2πr＋2πrl＝2πr(r＋l)(其中r为底面半径，l为圆柱的高)； 圆锥的表面积公式：S＝πr＋πrl＝πr(r＋l)(其中r为底面半径，l为母线长)； 圆台的表面积公式：S＝π(r′＋r＋r′l＋rl)(其中r和r′分别为圆台的上、下底面半径，

2

2

22

l为母线长)；

柱体的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 1

锥体的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高)；

3

1

台体的体积公式：V＝(S′＋S′S＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)；

3432

球的表面积和体积公式：S＝4πR，V＝πR(R为球的半径)．

3二、经典例题领悟好

[例2] (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

- 2 -

A．20π

B．24π C．28π D．32π

(2)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )

A．90π

B．63π C．42π D．36π

[解析] (1)由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h. 由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4， 由勾股定理得：l＝2＋23

12

2

2

＝4，

S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.

(2)法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6122

的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×3×10－×π×3×6＝63π.

2

法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝π×3×7＝63π.

[答案] (1)C (2)B

1

求几何体的表面积及体积问题，关键是空间想象能力，能想出、画出空间几何体，高

2

往往易求，底面放在已知几何体的某一面上.

2

求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体

以易于求解.

三、预测押题不能少

- 3 -

2.(1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )

A．1 C．4

B．2 D．8

解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半122径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr＋πr2＋4r＋πr·2r＝(5π＋4)r.

又S＝16＋20π，

∴(5π＋4)r＝16＋20π， ∴r＝4，r＝2，故选B.

1

(2)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_______．

4

2

2

2

2

解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，

1π2

∴V＝2×1×1＋2××π×1×1＝2＋.

42π

答案：2＋

2

考点三 球与多面体的切接问题 一、基础知识要记牢

(1)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，可采用“补形法”成为一个球内接长方体．

(2)正四面体的内切球与外接球半径之比为1∶3. 二、经典例题领悟好

[例3] (1)(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )

A．4π

9π B.

2

- 4 -