高中数学 第一章 立体几何初步(含解析)苏教版必修2

第1课时 棱柱、棱锥和棱台

教学过程

一、 问题情境

1. 阅读章头图和本章引言.

2. 结合问题导引1给出多个建筑的图片,让学生归类. 二、 数学建构

问题1 把一支粉笔贴在黑板上,沿垂直于粉笔的方向平移,留下怎样的痕迹? 问题2 把一张矩形纸片放在课桌上,向上平移,形成怎样的图形?

问题3 仔细观察图1中的几何体,说说它们的共同特点和它们是怎样形成的?

(图1)

通过讨论,给出棱柱的概念:

1. 一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱. 2. 用电脑演示平移多边形生成几何体的过程.

(图2)

3. 结合模型介绍:

(图3) (图4)

(1) 棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点.

(2) 棱柱的分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱.

(3) 棱柱的表示方法:棱柱ABC-A'B'C',棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'.

(4) 棱柱的特点:①两个底面多边形间的关系?(全等) ②上下底面对应边间的关系?(平行且相等) ③侧面是什么平面图形?(平行四边形) ④侧棱之间的关系?(平行且相等) 问题4 观察图5、图6中的几何体,前后发生了什么变化?

- 1 -

(图5)

(图6)

通过讨论,类比给出棱锥的概念:

1. 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥. 2. 结合模型介绍:

(图7)

(1) 棱锥的底面、侧面、棱、侧棱、顶点. (2) 三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥. (3) 棱锥的表示方法:如:棱锥S-ABCD.

(4) 棱锥的特点:底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等),侧面是有一个公共顶点的三角形. 问题5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到怎样的两个几何体?

- 2 -

(图8)

1. 棱台的概念:棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分叫做棱台. 2. 结合模型(由学生通过类比给出以下概念)

(1) 棱台的上底面、下底面、侧面、棱、侧棱、顶点. (2) 三棱台、四棱台、五棱台、六棱台. (3) 棱台的表示方法.

(4) 棱台的特点:①上下底面平行,对应边成比例; ②侧棱延长后交于一点. 思考 如图9所示的几何体是不是棱台?为什么?

(图9)

问题6 棱柱、棱锥、棱台与球有何不同?

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体有几个面就称为几面体. 如:三棱锥是四面体,四棱柱是六面体.

思考 (教材P8练习第4题)多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体?

(图10)

三、 数学运用

【例1】 下列几何体是棱柱的有 ①③ (填序号).

- 3 -

(图11)

解析 棱柱的结构特征有三方面:有两个面互相平行;其余各面都是平行四边形;这些平行四边形面中,每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时,这个几何体才是棱柱.很明显,几何体②④⑤⑥均不符合,仅有①③符合. 变式 如图12,下列几何体是棱台的为 ③ .

(图12)

解析 由棱台的定义知,棱台的上底面必须与下底面平行,且侧棱延长后交于同一点.①中侧棱延长后不能交于同一点,②中上底面不平行于下底面,故①②都不是棱台.③符合棱台的定义与结构特征.

[题后反思] (1)判断一个几何体是何种几何体,一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征,注意定义中的特殊字眼,切不可马虎大意.(2)本题容易错认为几何体②也是棱柱,其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征,避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比,并且和图形对应起来记忆,要做到看到文字叙述就想到图,看到图形就想到文字叙述.

【例2】 根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称: (1) 由6个平行四边形围成的几何体.

(2) 由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形.

(3) 由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.

[处理建议] 引导学生:审题→想象→对比定义→解答.

[规范板书] 解 (1) 这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱. (2) 这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面.

(3) 这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面.

[题后反思] 认识、判断一个几何体的结构特征,主要从它的侧面、侧棱、底面、顶点等角度描述,因此只有理解并掌握好各几何体的概念,才能认清各几何体的属性.注意判断时要充分发挥空间想象能力,必要时做几何模型,通过演示进行准确判断.

变式 观察图13,分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对.

- 4 -