流体力学4

duxdtdx+

duydtduzdy+dtdz=d?22ux?u2y?uz2?d??=

u22 (4—21)

将式(4—19),式（4—20）,式(4—21)带入式(4—18)，积分得：

?gz??p?u2?C （4—22）

2即： z?或： z1?p?u （4—23） ?2g?C2p1??2u12g=z2?p2??2u22g （4—24）

上述理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分，所得式(4—23)和式(4—24)均称为伯努利方程，以纪念在理想流体运动微分方程建立之前，1738年瑞士物理学家和数学家伯努利根据动能原理推出的用于计算流动问题的著名方程。

由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线的伯努利方程就是元流的伯努利方程。推导该方程引入的限定条件，就是理想流体元流伯努利方程的应用条件，归纳起来有：理想流体、恒定流动、质量力中只有重力、沿元流(流线)、不可压缩流体。 二、伯努利方程的物理意义和几何意义

1.物理意义

式(4—23)中的前两项z、

p?和z?p?的物理意义，在第二章第三节中已说明，分别是

u2单位重量流体具有的比位能、压能和比势能；是单位重量流体具有的动能，即比动能和

2gu2单位动能。三项之和z??是单位重量流体具有的机械能，称为总比能或单位总能量。

?2gp式(4—24)则表示理想流体的恒定流动，沿同一维流(沿同一流线)。单位重量流体的机械能守恒。伯努利方程又称为能量方程。

2.流体力学意义

式(4—23)各项的流体力学意义为：z是位置水头，p?压强水头；两项之和Hp?z?p?是

u2测压管水头，是流速水头，能够直接量测，

2g量测原理在随后的例题中说明。三项之和

u2称为总水头。式(4—23)则表示理想z???2gp流体的恒定流动，沿同一维流(沿同一流线)各断面的总水头相等。理想流体的水头线是水平线(图4—2)。

3.几何意义

式(4—23)各项的几何意义是不同的几何高

图4—2水头线

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度：z是位置高度，

p?测压管高度。见表4—1。

表4—1 能量方程意义表 项 目 z 单位位能 物理意义 或比位能 流体意义 几何意义 位置水头 位置高度 或比压能 压强水头 测压管高度 或比势能 测压管水头 势能高度 或比动能 流速水头 总比能 总水头 p? z??p 单位势能 u22g z?u2?+2g p单位压能 单位动能 单位总能量 [例4—2] 应用毕托(Pito.H.)管测量点流速前文指出，流速水头可直接量测，现以均匀管流为例加以说明。设均匀管流，欲量测过流断面上某点A的流速(图4—3)。

解：在该点放置一根两端开口，前端弯转90°的细管，使前端管口正对来流方向，另一端垂直向上，此管称为测速管。来流在A点受测速管的阻滞速度为零，动能全部转化为压能。测速管中液面升高

P'?。

另在A点上游的同一流线取距很近的O点，因这两点相距很近，O点的压强p实际上等于放置测速管以前A点的压强，应用理想流体元流伯努利方程：

图4—3点流速的测量

u2p'?? （4—25） ?2g?pu2p'p???h0 （4—26） 2g??式中0点的压强水头，由另—根测压管量测，于是测速管和测压管中液面的高度差h0,就是A点的流速水头,该点的流速： u?2gp'?p??2gh0 （4—27）

根据上述原理，将测速管和测压管组合成测量点流速的仪器，图4—4所示，与迎流孔(测速孔)相通的是测速管，与侧面顺流孔（测压孔或环形窄缝）相通的是测压管。考虑到粘性流体从迎流孔至顺流孔存在粘性效应，以及毕托管构造对原流场的干扰等影响，引用修正系数C：

图4—4毕托管构造

u?C2gp'?p??C2gh0 （4—28）

式中C是修正系数。数值接近于1.0，由实验测定。

【例4-3】 有一贮水装置如图（4—5）所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。

图4—5

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【解】 当阀门全开时列1—l、2—2截面的伯努利方程：

H?0?0?0?0.6pa?2v2?2g

当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程?H?2.8pa，求出Ｈ值：

H?2.8pa??2.8?98060?28?mH2O?，代入到上式得：

9806?0.6?98060??（m/s） ???2?9.806??2.8?9806??20.78???0.6pa?v2?2g?H????所以管内流量：qV??4d2v2?0.785?20.78?0.235m3/s??

三、粘性流体元流的伯努利方程

实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力作功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失。因此，粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程减少，总水头线沿程下降。

自19世纪30年代以来，人们从大量经验事实中，总结出一个重要结论。能量可以从一种形式转换成另一种形式，既不能创造、也不能消灭，总能量是恒定的，这就是能量守恒原理。因此，设hw'为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1—1运动至过流断面2—2的机械能损失，称为元流的水头损失，根据能量守恒原理，便可得到粘性流体元流的伯努利方程：

z1?

p1??2u12g=z2?p2??2u22g' （4—29） ?hw第三节 恒定总流的伯努利方程

上一节得到了粘性流体元流的伯努利方程式(4— 29)，为了解决实际问题，还需要将其推广到总流中去。 一、渐变流及其性质

在推导总流的伯努利方程之前，作为方程的导出条 件，将流动区分为渐变流和急变流。凡质点的迁移加速 度(位变加速度)很小，(u??)u?0的流动，或者说流线

图4—7急变流和渐变流

近于平行直线的流动定义为渐变流，否则是急变流(图4—7)。

显然，渐变流是均匀流的宽延，所以均匀流的性质，对于渐变流都近似成立，主要是： 1．渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2．恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的规律分布，即：

z??p=C （4—30）

由定义可知，渐变流没有准确的界定标准，流动是否按均匀流处理，以所得结果能否满足工程要求的精度而定。 二、恒定总流的伯努利方程

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1. 伯努利方程的推导

设恒定总流，过流断面1—1、2—2为渐变流断面，面积为A1,A2(图4—8)。在总流内任取元流，过流断面的微元面积、位置高度、压强及流速分别为dA,z1,p1,u1;dA2,z2,p2,u2。 1由元流的伯努利方程：

图4—8 总流的伯努利方程

z1?p1??2u12g=z2?p2??2u22g?h

'w以?dQ??u1dA1??u2dA2乘上式即是单位时间通过元流两过流断面的能量关系得： z1??p1??2u12g??dQ=?z2?p2??2u22g??dQ+?h'w?dQ （4—31）

总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分，便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系：

A1??z1?p1???udA+?112u12gA1?u1dA1=??z2?A2p2???udA+?222u22gA2'?dQ （4—32） ?u2dA2+?hwQ分别确定三种类型的积分 ①．第一类积分：

??z???udA

p?A因所取过流断面是渐变流断面

z??p?c，则：

）?Q (4—33)

??z???udA=（z?pp??A②．第二类积分：

?u22g?udA

A各点的速度不同，引入校正系数?，积分按断面平均速度v计算：

?u22gAuv=? (4—34) ?udA=?2g?dA2g?QA32式中：?——流速分布不均匀动能校正系数，???2g?dA?udAAu33?v3?dA2g=

Av3A，是为校正以断面平均速度计算的动能与

A实际功能的差异而引入的校正系数， 匀的流动，???1.05～1.10，它取决于过流断面上的流速分布情况，分布较均

?1.05～1.10，通常取?＝1。

Q③第三类积分：hw?dQ

积分式hw?dQ单位时间总流由1—1至2—2的械能损失。现在定义hw'为总流单位重量

Q?'?'流体由1—1至2—2断面的平均机械能损失，称总流的水头损失

'hw??dQ=hw?Q (4—35)

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