函数的单调性与极值经典例题复习+训练

函数的单调性与极值练习

一、选择题

1．函数f(x)?x?3x（|x|?1） （ ）。

Ａ．有最大值，但无最小值 Ｂ．有最大值，也有最小值 Ｃ．无最大值，也无最小值 Ｄ．无最大值，但有最小值

2．函数f(x)?x?a x?b在区间（－1，1）上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数， 则（ ）。Ａ．a?1，b?1Ｂ．a?1，b?RＣ．a??3，b?3Ｄ．a??3，b?R 3．函数y?1233。 x?lnx的单调减区间为 （ ）

2Ａ．（0，1）Ｂ．（0，1）∪（－∞，－1）Ｃ．（0，1）∪（1，＋∞）Ｄ．（0，＋∞） 4．函数y?xx?3x?22的单调增区间为 （ ）。

Ａ．（－2，2） Ｂ．（－2，1）∪（1，2） Ｃ．（－2，1）∪（1，2） Ｄ．（－2，1），（1，2） 5．设f?(x)是函数f(x)的导函数，y?f?(x) 的图象如右图所示，则y?f(x)的图象有 可能的是 （ ）。

y y y y y y?f?(x)

Ｏ １ ２ x Ｏ １ ２ x Ｏ １ ２ x ２ Ｏ １ x Ｏ １ ２ x

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、填空题

6．已知a?0，函数f(x)??x?a x在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值 为＿＿＿。

7．设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，则方程f?(x)?0的实数根的个数是＿＿＿。 三、解答题 8．求函数f(x)?x?

1x3的极值。

函数的单调性与极值

类型一导数与函数的单调性 一、选择题

1．函数y?x?x的单调增区间是＿＿＿。

2．若三次函数y?a x?x在区间（－∞，＋∞）内是减函数，则a的取值范围＿＿＿。 3．函数y?xlnx在区间（0，1）上的增减性是＿＿＿。 二、填空题

324．若函数f(x)?x?bx?cx?d的单调递减区间为[－1，2]，则b?＿＿，c?＿＿。

335．若函数f(x)?a x?x恰有三个单调区间，则a的取值范围是＿＿＿。 6．设f(x)?x?232x（x?0），则f(x)的单调增区间为＿＿＿。

27．求函数y?x?lnx的单调区间。

类型二、函数的极值

一、选择题 1．函数f(x)?12(e?ex?x)的极小值点是＿＿＿。

2．函数y?sin(x??2)??在区间[－?，?]上的极大值点为＿＿＿。

33．函数y?1?3x?x的极大与极小值＿＿＿。 二、填空题

4．函数y?x?x?x?1在区间[－2，1]上的最小值为＿＿＿。

5．若函数f(x)?x?a x在Ｒ上有两个极值点，则实数a的取值范围是＿＿＿。 6．函数f(x)?sinx?cosx在[－

32332?2，

?2]上的最大值为＿＿＿，最小值为＿＿＿。

7．已知函数f(x)?a x?b x?3x?2在x??1处取得极值，讨论f( 1 )和f( ?1 )是函数f(x)的极大值还是极小值。

函数的单调性与极值专题

1. 利用导数判断函数的单调性

（1）函数单调性与其导函数的正、负关系

在区间（a，b）内，若f'(x)?0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递增.若f'(x)?0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递减，若f'?x??0，则函数y=f（x）是常函数，在区间（a，b）内不具有单调性. （2）导数与函数图像的关系

若函数在某一区间（a，b）内的导数绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数图像比较“陡峭”（向上或向下），反之，函数图像就“平缓”一些. 2. 求可导函数单调区间的一般步骤与方法

（1）确定函数y=f（x）的定义域 （2）求

f(x),令f(x)?0''，解此方程，求其在定义域内的一切实根.

（3）把函数y=f（x）的间断点的横坐标及上面求出的各实根按由小到大的顺序排列，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.

（4）确定f'(x)在各个小区间的符号，判定函数y=f（x）在每个相应小开区间的单调性.

3. 函数极值的概念

已知函数y=f（x），设x0是定义域内任意一点，若对x0附近所有的点x，都有

f(x)?f(x0)，则称函数y=f（x）在x0处取极大值，即y极大?f(x0)，x0称为函数的一

个极大值点.反之若f(x)?f(x0)，则函数y?f(x)在x0处取得极小值，即y极小?f(x0)，

x0称为函数的一个极小值点.

注意：（1）函数极值是局部性概念，极值点是定义域内的点，而定义域的端点绝不是极值点.

（2）若函数y=f（x）在[a，b]内有极值，则函数y?f(x)在区间[a，b]内一定不是单调函数，即给定区间上的单调函数无极值.

（3）当函数y?f(x)在区间[a，b]内连续且有有限个极值点时，函数y?f(x)在区间[a，b]内的极大值点与极小值点是交替出现的. 4. 求函数y=f（x）极值的方法

（1）求导数f'?x?.

（2）求方程f'?x?=0的所有实数根.

（3）考察x0附近的每一个根（从左到右），导函数f(x)的符号变化，若f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，若f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.

注意：①可导点不一定是极值点，如f(x)?x，f(0)?0，则x=0不是极值点.故导数为零的点是该点为极值点的必要条件.

小值点.

3''''②不可导点可能是极值点，如f(x)?|x|，在x=0处不可导，但x=0是函数的极

【典型例题】

考点一：判断函数在给定区间上的单调性 例1、已知函数f(x)?x?ax,(x?0)，

（1）当a?0时，函数在区间（??,0)及(0,??)上的单调性如何？ （2）当a>0时，判断函数在区间(0,a)及(?a,0)上的单调性.

例2、已知函数f(x)?

考点二：求函数的单调区间

例3、求函数f(x)?3x?2lnx的单调区间

考点三：求函数的极值及其综合应用. 例4、求函数f(x)?xex'2?x213x?x32?ax(a?R)，讨论函数的的单调性。

的极值

0 0 极小值0 （0， 2） + 2 0 极大值4e?2 (??,0) （2，+?) － f(x) － f(x) 2

例5、 已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2在x＝－2和x＝处取得极值．

3

(1) 确定函数f(x)的解析式(2) 求函数f(x)的单调区间；（3）作出函数f(x)的大致图像.

例6、 已知函数f(x)?a3x3?322x2?(a?1)x?1,其中a为实数，

（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值

（2）已知不等式f(x)?x?x?a?1对任意的a?(0,??)都成立，求x的取值范围.

考点四：求函数的最值

例7、求函数y?x?2x?x?3,x?[,1]的值域。

332'2

例8、证明：e?1?x

x同步练习：

1、设x=1，x=2是函数f(x)?x?ax

2.讨论函数f(x)?alnx?x?(a?2)x(a?R)的单调性与极值。253?bx?1的两个极值点

（1）求a，b的值.（2）求f（x）的单调区间.

3、设函数f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0

变式2.作出函数f(x)的草图.

变式3.设函数f(x)?sinx?cosx?x?a，x??0,2??有且仅有两个零点，求实数a的值.

变式4.设方程sinx?cosx?x?a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.

4. 设a为实数，函数f(x)?x?x?x?a. （1）求f(x)的极值；

（2）作出函数g(x)?x?x?x的图像；

（3）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？

5. 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.求f(x)的单调区间与极值；

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