第一章集合与常用逻辑用语

解析：因为p是真命题，所以?x∈(1,2)，有ex－a≤0，即a≥ex，又y＝ex在(1,2)有y

答案：D

3．命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A．p或q C．q

B．p且q D．綈p

π5π

解析：取x＝3，y＝6，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．

答案：B

4．下列命题中，真命题是( )

A．?x∈R，－x2－1<0 B．?x0∈R，x20＋x0＝－1 12C．?x∈R，x2－x＋4>0 D．?x0∈R，x0＋2x0＋2<0 11解析：A真；由x2＋x＝－1无解，所以x2B假；由x2－x＋4＝(x－2)2≥0，0＋x0＝－1不成立，

2C假，x20＋2x0＋2＝(x0＋1)＋1>0，D假．

答案：A

5．如果命题“p且q”是假命题，“綈p”也是假命题，则( )

A．命题“綈p或q”是假命题 B．命题“p或q”是假命题 C．命题“綈p且q”是真命题 D．命题“p且綈q”是假命题 解析：由“綈p”是假命题可得p为真命题．因为“p且q”是假命题，所以q为假命题．所以命题“綈p或q”是假命题，即A正确；“p或q”是真命题，即B错误；“綈p且q”是假命题，C错误；“p且綈q”是真命题，即D错误．

答案：A

6．(2016·商丘模拟)已知命题p：函数y＝ax＋1＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过点(－1,2)；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是( )

A．p∧q C．(綈p)∧q

B．(綈p)∧(綈q) D．p∧(綈q)

33 解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数y＝ax＋1＋1是由y＝ax先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到．所以函数y＝ax＋1＋1恒过点(－1,2)，故命题p为真命题；命题q：m与β的位置关系也可能是m?β，故q是假命题．所以p∧(綈q)为真命题．

答案：D

2

7．若命题“?x0∈R，x0＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是( )

A．[－1,3] B．(－1,3)

C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

22解析：因为命题“?x0∈R，x0＋(a－1)x0＋1＜0”等价于x0＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的

实根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＜－1或a＞3.

答案：D

5

8．已知命题p：?x0∈R，使sinx0＝2；命题q：?x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题，其中正确的命题是( )

A．②③ B．②④

C．③④

D．①②③

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解析：∵2＞1，∴命题p是假命题，又∵x2＋x＋1＝(x＋2)2＋4≥4＞0，∴命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确．

答案：A

π

9．已知命题p：?x0∈R,2x0＞3x0；命题q：?x∈(0，2)，tanx＞sinx，则下列是真命题的是( )

A．(綈p)∧q C．p∧(綈q)

解析：当x＝－1时，2－1＞3－1，所以p为真命题；

sinx?1－cosx?π

当x∈(0，2)时，tanx－sinx＝＞0，所以q为真命题，所以p∨(綈q)为真命题．

cosx

答案：D

B．(綈p)∨(綈q) D．p∨(綈q)

34 10．下列四个结论：

①若x＞0，则x＞sinx恒成立；

②命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”； ③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件； ④命题“?x∈R，x－ln x＞0”的否定是“?x0∈R，x0－ln x0≤0”． 其中正确结论的个数是( ) A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析：设F(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx≥0，所以F(x)＞F(0)＝0，故①正确；由逆否命题的定义知②正确；由p∨q为真，不一定推出p∧q为真，反之一定成立，故③应是必要不充分条件，所以③错误；全称命题的否定为存在命题且否定结论，故④正确．

答案：C

11．已知命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a>0，a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，则函数y＝f(x)的图象关于点(3,0)对称，则( )

A．p真q假 C．“p且q”为真

B．p假q真 D．“p或q”为假

解析：由x＝－1时，y＝loga(－a＋2a)＝1.已知函数y＝loga(ax＋2a)(a>0，a≠1)的图象必过点点(－1,1)，命题p为真命题；又函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，其向左平移3个单位可得函数y＝f(x)的图象，该函数的对称中心平移至点(－3,0)，从而得命题q为假命题．即p真q假，故选A.

答案：A

12．(2016·贵阳期末)下列说法正确的是( )

A．命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x0∈R，ex0＞0”

B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题 C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”?“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立” D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题 解析：A：命题的否定是“?x0∈R，ex0≤0”，∴A错误；B：逆否命题为“已知x，y∈R，

35 若x＝2，y＝1，则x＋y＝3”，易知为真命题．∴B正确；C：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C错误；D：若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则：①a＝0，符合题意；②a≠0，Δ＝4＋4a＝0，a＝－1，故逆命题是假命题，∴D错误．

答案：B

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题”?x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)＝x2－mx＋1的图象过点(0,1)，若命题“?x0>0，f(x0)<0”为真，则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，所以Δ＝m2－4>0，且m

－2>0，即m<－2，所以m的取值范围是(－∞，－2)．

答案：(－∞，－2)

14．设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为________．

2

解析：对于命题p：Δ<0且a>0，故a>2；对于命题q：a>2x－x＋1在x∈(－∞，－1)上恒22

成立，又函数y＝2x－x＋1为增函数，所以(2x－x＋1)<1，故a≥1，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假．故1≤a≤2.

答案：[1,2]

15．已知命题p：函数y＝(c－1)x＋1在R上单调递增；命题q：不等式x2－x＋c≤0的解集是?.若p且q为真命题，则实数c的取值范围是________．

解析：要使函数y＝(c－1)x＋1在R上单调递增，则c－1>0，解得c>1. ∴ p：c>1.

因为不等式x2－x＋c≤0的解集是?， ∴ 判断式Δ＝1－4c<0， 11

解得c>4，即q：c>4. 因为p且q为真命题，∴p，q同为真，

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