《概率论与数理统计》期末考试试题与解答

--

五、（ 6 分 ）设随机变量 X 的概率密度为 f ( x)

e , 0,

x

x 0

，

其它

求随机变量 Y=2X+1 的概率密度。

解：因为 y 2x 1是单调可导的，故可用公式法计算 ???? .1 分

当 X 由 y

0 时， Y 1

2x 1， 得

x

y

2

1

, x'

1

???? .2 分

???? 4 分

1 2

f (

y 1

2

2

)

y

1

从而 Y 的密度函数为 fY ( y)

???? ..5 分

0

1 2

y

y

1

1

e

2

y 1

=

???? ..6 分

0

y 1

六、（ 8 分 ） 已知随机变量

X 和 Y 的概率分布为

Y0

P

X1

P

0 1 2 0}

1.

1 1 4

1

1 4

1 2

1

2

而且 P{ XY

(1) 求随机变量 X 和 Y 的联合分布 ; (2)判断 X 与 Y 是否相互独立 ? 解：因为 P XY

0

1 ，所以 P XY 0

0

(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出

Y -1 0

X

0

1

1 4

0

1 2

1 4

1 2 1 2

1

0

0

1 4

13

1 4

1 2

---

--

???? .4 分

(2) 因为

P X 0,Y 0 0 P X 0 P Y 0

1 2

1 1

2 4

所以 X 与 Y 不相互独立

???? 8 分

七、（ 8 分 ） 设二维随机变量 ( X ,Y) 的联合密度函数为

12e f (x, y)

0,

( 3 x 4 y) , x

0, y

0,

其他.

求：

；

X 1,0 Y 2)

1

2

求 X 的边缘密度。

（ 1） P(0

（ 2）

解：（ 1） P(0 X

1 0

1,0 Y

2

3xdx

2)

4 y

dx 12e

0

0

(3 x 4 y )

dy

2 0

???? ..2 分

3e

4e

0

1

3 x

dy = e 0

e

4 y

=[ 1 e ] [1 e ]

38

???? .4 分

（ 2）

f X ( x)12e

(3 x 4 y)

dy

0

???? ..6 分

????? ..8 分

3e 0

3x

x x

0

八、（ 6

分） 一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从参数为

1 4

的指数分

布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出

一台设备盈利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。

解： 因为 X ~ e(

1

1

得 f (x)

)

4

e

1 x 4

x

0

???? .2 分

4

0 x 0

用 Y 表示出售一台设备的净盈利

Y

100 X

1

1

???? 3 分

100 300 0

14

X

---

--

则P(Y

100)

1

1

x

e dx

4

e

4

1

4

1 4

P Y

200

1

1e 4

x 4

dx

1

e

??? ..4 分

1

0

1

所以

EY

100 e

1

4

( 200) (1

e )

4

300e

4

200

33.64 （元） ??? ..6 分

九、（ 8 分） 设随机变量 X 与 Y 的数学期望分别为

2 和 2，方差分别为 1 和 4，

而相关系数为

0.5 ，求 E(2 X Y), D (2 X Y) 。

解：已知 EX

则 E(2 X

D ( 2X Y)

2, EY Y)

2, DX 1, DY 2 ( 2) 2

4,

6

XY

0.5

2EX EY

DY

??? .4 分 ??? .5 分 ??? .6 分

???? ..8 分

D (2 X ) 2DX 2DX

2 cov( 2X , Y)

DY 4 cov( X ,Y ) DY 4 DX

DY

XY =12

十、（ 7 分）设供电站供应某地区 1 000 户居民用电，各户用电情况相互独立。已

知每户每日用电量（单位：度）服从 [0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这 1 000 户居民每日用电量超过 10 100 度的概率。（所求概率用标准正

态分布函数

( x) 的值表示） .

解：用 Xi 表示第 i 户居民的用电量，则 X i ~ U [0,20]

EX i

0 20 2

10

(20 0)

DX i

2

100 3

??? 2 分

12

1000

则 1000 户居民的用电量为 X

X i ，由独立同分布中心极限定理

i 1

P X 10100 1 P X 10100

??? 3 分

15

---

--

X 1000 10

10100

1000 10

=1 P

??? 4 分

1000 100

3 10100

(

1000 100

3

1

1000

1000 10

)

100

??? .6 分

3

=1

( 3 )

10

??? 7 分

十一、（ 7 分 ）设 x1 , x2 ,

, xn 是取自总体 X 的一组样本值， X 的密度函数为

f ( x)

(

1)x , 0 x

1,

0,

其他 ,

其中 0 未知，求 的最大似然估计。

解 : 最大似然函数为

n

n

L( x1 , , xn , )

= (

i 1

f ( xi )

n

(

i 1

1) xi

??? .2 分 ??? .3 分

1) ( x1 , , xn )

则

ln L( x1,

, xn , ) n ln(

1)

ln( x1 , , xn )

0 x1 , , xn 1

??? ..4 分

令 d ln L

d

n

1

ln( x1,

, xn )

0

??? ..5 分

于是 的最大似然估计：

?

1

n

。

, xn )

??? .7 分

ln ln( x1 ,

十二、（ 5 分 ）某商店每天每百元投资的利润率

X ~ N ( ,1) 服从正态分布， 均值为

，长期以来方差 为 x 5 ，试 求

(1.96) 0.975 ）

2

稳定为 1，现随机抽取的 100 天的利润，样本均值

的置 信水平 为 95%的置 信区间 。（ t 0.05(100) 1.99,

16

---