判断三角形的形状

一、判定三角形的形状

例1 根据下列条件判断三角形ABC的形状： (1)若a2tanB=b2tanA； 解：由已知及正弦定理得

(2RsinA)

2

sinBcosB= (2RsinB)

2

sinAcosA?

2sinAcosA=2sinBcosB?sin2A=sin2B? 2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o 或 A – B=0

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. (2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得

sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC

∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90, A=90, 故△ABC是直角三角形.

o

o

3．12 判断三角形的形状

1．三角形形状的判定方法：

①化边为角；

②化角为边.

2．通过正弦、余弦定理实施边角转换. 3．通过三角变换探索角的关系，符号规律. 【典型例题】

例1．在ΔABC中，满足

??sin???cot22A?sinA?cot22B?sinB?cot22C?2C?2试判断ΔABC的形状.

例2．在ΔABC中，已知tan例3．在ΔABC中，tanA2B?cos(C?B)sinA?sin(C?B)，试判断ΔABC的形状. ，求证：ΔABC是锐角三角形.

?tan3C2且tanC?2tanB?a?ba?b.

例4．在ΔABC中，满足tanA?B2 （1）试判断ΔABC的形状. （2）当a = 10，c =10时，求tan【基础训练】

1．在ΔABC中，sin2A + sin2B = sin2C，则ΔABC是____________.

2．在ΔABC中，a+b+c－ab－bc－ac = 0，则ΔABC是_____________.

3．在ΔABC中，cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A) = 1，则ΔABC是_____________.

4

4

4

22

22

22

A2的值.

4．在ΔABC中，tanAtanB > 1，则ΔABC是_____________.

5．在ΔABC中，sinA + sinB + sinC = 2，则ΔABC是_____________. 【拓展练习】

1．已知tanA + tanB + tanC > 0，则ΔABC是 （ ）

A．锐角三角形

ab22222

?B．直角三角形

tanAtanB C．钝角三角形

D．任意三角形

2．在ΔABC中，

（ ）

，则ΔABC是

A．等腰三角形 B．直角三角形

1213 C．等腰三角形 D．等腰或直角三

角形

3．在ΔABC中，已知sinA?cosA?，则ΔABC的形状是___________.

，则ΔABC的形状是___________.

4．在ΔABC中，已知cosBcosC =

1?cosA25．在ΔABC中，已知a cosA = b cosB，则ΔABC的形状是___________.

6．在ΔABC中，已知sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB =2,则ΔABC的形状是_________.

7．在ΔABC中，已知

acosA?bcosB?ccosC，则ΔABC的形状是___________.

8．在ΔABC中，已知sinC?sinA?sinBcosA?cosB，则ΔABC的形状是___________.

9．在ΔABC中，分别根据下列条件，判断三角形的形状. （1）lg

（2）sinA = 2cosCsinB.

（4）acosB + bcosC + ccosA = bcosA + ccosB + acosC. （5）

（6）(a2?b2)sin(A?B)?(a2?b2)sin(A?B).

a3a?lgc?lgsinB??lg2(B为锐角).

?b?c33a?b?c?c,且sinAsinB?234.