14数学全国教师18（理）

全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十八)

第十八单元 计数原理、概率

(120分钟 150分)

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.甲组有30人,乙组有20人,现从两组中各选1人参加义务劳动,选法种数为

A.50 B.60 C.600 D.120

解析:由乘法原理知共有30×20=600种选法. 答案:C

2.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷500次,那么第499次出现正面朝上的概率是

A.499 答案:D

1

B.500 C.500 D.2

14991

解析:由古典概率的等可能性知,每一次出现正面向上的概率都相等.

3.王刚、张华、李明三个小朋友玩传球游戏,互相传递,每人每次只能传一下,由王刚开始传,经过4次传递后,球又被传回给王刚,则不同的传球方式共有

A.4种

传法.

B.6种 C.8种 D.10种

解析:如下图,王刚先传给张华有3种情况,同理,王刚先传给李明也可以推出3种情况,综上有6种

答案:B

4.某商店开张,采用摸奖形式吸引顾客,暗箱中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球, 进入商店的人都可以从箱中摸取两球, 若两球颜色为一白一黑即可领取小礼品,则能得到小礼品的概率等于

A. B.

15

25

35

45

C. D.

1??12??362

==. 155C26

解析:能得到小礼品的概率等于答案:B

5.从5,7,9中选两个数字, 从0,6 中选一个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为

A.6

B.12

C.18

D.24

解析:由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇,因此总共

12A23A2+A3=18种.

答案:C

6.二项式(??-x ??)n的展开式中含有x2项,则n可能的取值是

A.5

B.6

1

??

1

C.7 D.8

5??

????

解析:Tr+1=C??()n-r(-x ??)r=C??(-1)r??2-n

,要使其展开式中含有x2项,则需使-n=2,即n+2=有正整5??

25??2

数解,结合各选项知,选D.

答案:D

7.高三(1) 班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有

A.34种

B.35种 C.120种

D.140种

444

解析:从7个人中选4人共C7种选法,只有男生的选法有C4种,所以既有男生又有女生的选法有C7-4C4=34种.

答案:A

8.李华通过英语听力测试的概率是3,他连续测试5次,那么其中恰有2次获得通过的概率是

A.243 80

1

B.243 C.243 D.15 1

3

13

80. 243

4082

22

解析:所求概率P=C5()(1-)5-2=

答案:A

9.古代“五行”学认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克的两种物质不相邻,则这样的排列方法有多少种(结果用数字表示).

A.5

B.10

C.20

D.120

解析:把“金、木、土、水、火”用“1,2,3,4,5”代替.以“1”开头的排法只有“1,3,5,2,4”或“1,4,2,5,3”两种,同理以其他数开头的排法都是2种,所以共有2×5=10(种).

答案:B

10.在学校学生会举行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个出场,那么出场顺序的排法种数为

A.24

B.36

C.48

D.60

1

解析:分两类: (1) 男生排第一个有A1A1A3A2A22×3×3=36种;(2) 女生排第一个有A2×2×3=24种,共有

36+24=60种排法.

答案:D

11.已知函数y=cos x(x∈[-2,2])的图像与x轴围成的区域记为M,若随机在圆O:x2+y2=π2内任取一点,则该点在区域M内的概率是

A.π2 π

2π-2ππ

4

B.π3 π24

C.π2 2

D.π3 π22

=2, 解析: cos xdx=2 cos xdx=2sin x 0

0

所以P=答案:D

22

=. π×π2π312.已知函数f(x)=ax+

??

(x>1),若??-1

a是从0,1,2三数中任取一个,b是从1,2,3,4四数中任取

一个,那么f(x)>b恒成立的概率为

A.3 B.20 2

7

C.5

2

D.2

??1

=a(x-1)++a+1≥2 ??+a+1=( ??+1)2, ??-1??-1

1

解析:当a>0时,由x>1知f(x)=ax+

因为f(x)>b恒成立,所以( ??+1)2>b恒成立,若b=1,则a=1,2;b=2,a=1,2;b=3,a=1,2;b=4,a=2,共7种情况.a=0时,f(x)=

答案:A

182

+1>1,b=1适合,故概率为=.

3×43??-1

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.二项式(2-3)8的展开式中的常数项为 .

??62

解析:由通项公式可得常数项为C8()(-1)6=7.

??11

2

答案:7

14.点O为棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD的中心,在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为 .

解析:点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,1为半径的半球外.记“点P到点O的距离大

23-2×3×13π

于1”为事件A,则P(A)==1-. 3122

14π

答案:1-

π

12

15.高三(1) 班在一次春游踏青中,开展有奖答题活动.从2道文史题和3道理科题中不放回依次抽取2道题,某同学在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为 .

解析:记事件A为“第一次抽到理科题” ,B为“第二次抽到理科题” ,则P(A)=,P(AB)=×=,

??(????)101

∴P(B|A)===. ??(??)32

53

3

53235410

答案:

12

16.在某市举办的城市运动会的跳高比赛中, 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7、0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,若甲、乙各试跳两次,则两人中恰有一人第二次才成功的概率为 .

解析:记“甲第i次试跳成功”为事件Ai,“乙第i次试跳成功”为事件Bi,依题意得 P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且Ai,Bi(i=1,2)相互独立.

“甲第二次试跳才成功”为事件A1A2,且两次试跳相互独立. ∴P(A1A2)=P(A1)P(A2)=0.3×0.7=0.21. 故甲第二次试跳才成功的概率为0.21.

同理可求得乙第二次试跳才成功的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=0.4×0.6=0.24. 故两人中恰有一人第二次才成功的概率为0.21×(1-0.24)+0.24×(1-0.21)=0.3492. 答案:0.3492

?

?

?

?

?

三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.(本小题满分10分)

高三(3) 班数学兴趣小组的甲、乙、丙三人独立解同一道数学难题 ,已知甲、乙、丙各自解出的概率分别为2、 3、p,且他们是否解出该题互不影响.若三人中只有甲解出的概率为4.

1

1

1