湖南省永州市2019届高三第三次模拟考试数学(理)试题(含答案)

为则

，

的内角，可知同号，所以

，，

又，当且仅当时取等号

则

本题正确结果为：【点睛】

本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够利用正弦定理将已知和所求边角关系式进行化简，从而得到乘积的定值和符合基本不等式的形式.

三、解答题 17．已知数列证明：数列

的前项和满足

为等比数列；

.

若数列为等差数列，且，求数列的前项和.

【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）利用

可得

，从而证得结论；（2）由（1）可得，从

.

而可求得的通项公式，再利用裂项相消求解【详解】 （1）当当

时，

时，

数列

是以

首项，公比为的等比数列

（2）由（1）得，

即 ，解得

【点睛】

本题考查利用定义证明数列为等比数列、数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前项和，属于常规题型. 18．在三棱柱

中，侧面

底面

，

，且侧面

为菱形.

证明：平面；

若弦值.

，，直线与底面所成角的正弦值为，求二面角的余

【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）根据条件证得

和

，从而证得结论；（2）建立空间直角坐标系，利

用与平面所成角正弦值为可求得的长；进而利用二面角的向量求法求解出所求二面角

的余弦值. 【详解】 （1）证明：连接

，因为四边形

是菱形，则

因为平面

平面

又

平面

（2）取

平面

，且为交线，

面

，且

，以

为轴，

为轴，

为轴，

的中点，连接，易证

建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，，

因为四边形则易知

为平行四边形

的一个法向量为

，解得

设平面

的法向量

，

，令

由（1）可得面

的法向量

，则

二面角【点睛】

的余弦值为

本题考查线面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够通过假设的方式，利用直线与平面所成角的正弦值求得未知长度，从而可表示出所有点的坐标，进而可以顺利应用空间向量法解题.

19．已知椭圆（异于左右顶点）,且求椭圆的方程； 过点的值.

分别作斜率为

的左右焦点分别为

的周长为

.

，椭圆过点，点为椭圆上一动点

的直线，分别交椭圆于和四点，且，求

【答案】(1) (2) ，

为上顶点，构造出关于和

，根据

的方程，从而求得椭可整理出关于

【解析】（1）根据焦点三角形周长为

圆方程；（2）通过弦长公式，利用和表示出的方程，求解得到结果. 【详解】

（1）由题意得，，解得

所以椭圆的方程为（2）由题得设直线

的方程为

，

，

，

联立，得