必修四平面向量的数量积讲义

2.3 平面向量的数量积

一、平面向量数量积

1、定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则数量｜a｜×｜b｜×cos?叫

做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝｜a｜×｜b｜×cos?。

注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向．．．．．．．．．．．．．．．量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；（2）两个向量的数量积是两个向量之间．．．．．．．．．．．．的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“·；（3）在运． ”不能省略，也不能也成“×”．．．．．．．．．．．．．．00．．用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：0≤≤180。（4）规定：零向量与任?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一向量的数量积为，即0·b＝0；（5）当向量a与b的夹角为90时，叫a与b互相垂直，．．．．．．．．0．．．．．记作：a⊥b，此时：a⊥b?a·b＝0。

0

2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于a·b＝｜a｜×｜b｜×cos?，其

中｜b｜×cos?叫做b在a方向上的投影，当?为锐角时，投影为正；当?为钝角时，投影为负；当?就直角时，投影为0； 当?为0度时，投影是｜b｜； 当?为180度时，投影为－｜b｜；（2）与；（3））a在b方向．a在．b方向上的投影．．．．．．．a方向上的投影就不同的．．．．．．．．．．．b在

上的投影值可以写成a?bb。

例1：已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，当（1）a与b夹角为30时；（2）当a⊥b时；（3）当当a∥b时；分别计算a与b的数量积。 【解析】：（1）53； （2）0； （3）±10

0

变式练习1：已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a与b的夹角为450，则a在b方向上的投影

是（ ） A：

32 B：3 C：4 D：5 2【解析】：A

1

变式练习2：已知｜a｜＝6，｜b｜＝3，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影是（ ）

A：－4 B：－2 C：4 D：2 【解析】：A

二、平面向量数量积的性质

若a与b是非零向量，e是与a方向相同的单位向量，?是e与a的夹角

1、e·a＝a·e＝｜a｜×｜e｜×cos? 2、a⊥b?a·b＝0

3、若a与b同向，则a·b＝｜a｜×｜b｜ ( 夹角为0度 )；若反向，则a·b＝－｜a｜×｜b｜( 夹角为180度 )；

特别地，a·a＝(a)2＝｜a｜2或｜a｜＝a?a

4、若?是a与b的夹角，则cos?＝

a?ba?b

5、｜a·b｜≤｜a｜×｜b｜（当a与b共线时取等号）

三、平面向量数量积的运算律

1、a·b＝b·a 2、(?a)·b＝?(a·b)＝a ·(?b) 3、(a＋b)·c＝a·c＋b·c

4、(a＋b)·(a－b)＝(a)－(b)＝｜a｜2－｜b｜2 5、(a＋b)＝｜a｜2＋2×a·b＋｜b｜2

2

2

2

注意：（1）没有(a·b)·c＝a·(b·c)这个运算定律；（2）a·c＝b·c，则不能得到a＝b； （3）若a·b＝0，则a＝0或b＝0或＝900。

例2：下列说法正确的个数_______。 （1）两个向量的数量积是一个向量；（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；（3）

b＞0，若a·则a与b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角；（4） (a·b)·c＝a·(b·c)；（5）若a·b＝0，则a＝0或b＝0。 【解析】：0个

2

例3：已知a与b的夹角为120，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，则计算(a－2b)·(a＋b)＝________，｜a＋b｜＝________。 【解析】：12 23

例4：已知OA⊥AB，｜OA｜＝4，则OA·OB＝_______。 【解析】：16

0

11变式练习1：已知｜a｜＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求（1）a与b的夹

22角；（2）a－b与a＋b的夹角的余弦值。

1150222＝5。 【解析】：45，︱a－b︱＝，︱a＋b︱＝，cos?＝

52215?22变式练习2：已知向量a、b的夹角为600，且｜a｜＝2，｜b｜＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于（ ）

A：150 B：90 C：60 D：30 【解析】：cos?＝0

0

0

0

a?(a?2b)a?a?2b＝30

0

可用数形结合法，构成的四边形为菱形

变式练习3：已知向量a与向量b满足，｜a｜＝6，｜b｜＝4，且a与b的夹角为600，

求｜a＋b｜与｜a－3b｜。

【解析】：｜a＋b｜＝219，｜a－3b｜＝63

变式练习4：设四边形ABCD为平行四边形，｜AB｜＝6，｜AD｜＝4，若点M，N满

足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝（ ）

A：20 B：15 C：9 D：6

解析】这个地方四边形ABCD为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以A为坐标原点建立坐标系。由A（0,0），M（6,3）N（4,4），进而AM?(6,3) ，NM?(2,?1)，AM?NM?9。

3

变式练习5：已知向量a与向量b是两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则｜c｜的最大值是（ ） A：1 B：2 C：2 D：

2 22

2

4

【解析】：(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c－c＝0，则c＝c·(a＋b)，则c≤[c·(a＋b)]＝c×(a＋2a·b＋b)＝2c 故c≤2。 C

2

2

2

2

2

2

四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

设i，j为x轴、y轴方向的两个单位向量，即i＝(1，0)，j＝(0，1)，且a与b为两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

1、i·i＝1 j·j＝1 i·j＝0 a·b＝x1×x2＋y1×y2

2、若a＝(x，y)，则｜a｜2＝x2?y2或｜a｜＝x2?y22。

2若A＝(x1，y1)，B＝(x2，y2)，则｜AB｜＝(x2?x1)?(y2?y1)

3、若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?a·b＝0? x1×x2＋y1×y2＝0

4